Mathématiques - Bac 2022
Métropole - Session normale
Epreuve du 15 juin 2022
Consigne officielle
Le candidat est invité à traiter les quatre exercices.
Exercice 1
Enonce
Exercice 1 — Suites numériques (5 points)
Une entreprise de recyclage de plastique souhaite modéliser l'évolution de sa capacité de traitement. En 2022, elle peut traiter 500 tonnes par an. Elle prévoit d'augmenter sa capacité de 8% chaque année, mais doit aussi tenir compte d'une contrainte technique qui réduit cette croissance de 20 tonnes à partir de la deuxième année.
Données: Capacité initiale (2022) : u₀ = 500 tonnes. Pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = 1,08 × uₙ - 20 et uₙ représente la capacité prévue (en tonnes) pour l'année (2022 + n).
- Calculer u₁ et u₂. Donner les valeurs arrondies à l'unité.
- On considère la suite (vₙ) définie pour tout entier naturel n par vₙ = uₙ - 250. a) Démontrer que (vₙ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. b) En déduire l'expression de vₙ en fonction de n, puis celle de uₙ en fonction de n.
- Déterminer la limite de la suite (uₙ). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise.
- À l'aide d'un algorithme ou par le calcul, déterminer à partir de quelle année la capacité de traitement dépassera 800 tonnes.
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les suites arithmético-géométriques, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, calculer les premiers termes pour comprendre le comportement de la suite. Ensuite, pour trouver la forme explicite de uₙ, on utilise la technique classique : on cherche un réel α tel que la suite (vₙ) définie par vₙ = uₙ - α soit géométrique. On résout α = 1,08α - 20 pour trouver α = 250. Une fois (vₙ) identifiée comme géométrique, on obtient son expression en fonction de n, puis celle de uₙ. La limite se déduit de la raison de la suite géométrique. Enfin, pour déterminer quand uₙ dépasse 800, on résout l'inéquation correspondante en utilisant l'expression explicite et le logarithme, ou par balayage algorithmique.
Points cles
- 1Reconnaître une suite arithmético-géométrique : Une suite définie par récurrence de la forme uₙ₊₁ = a × uₙ + b (avec a ≠ 1) est dite arithmético-géométrique. Ici, a = 1,08 et b = -20.
- 2Trouver le point fixe : Pour transformer une suite arithmético-géométrique en suite géométrique, on cherche le réel α (point fixe) solution de α = aα + b. Ici, α = 1,08α - 20 donne α = 250.
- 3Construction de la suite auxiliaire géométrique : On définit vₙ = uₙ - α. En substituant dans la relation de récurrence, on montre que (vₙ) est géométrique de raison a = 1,08.
- 4Expression explicite : Une fois vₙ = v₀ × (1,08)ⁿ obtenue, on en déduit uₙ = vₙ + α = (u₀ - α) × (1,08)ⁿ + α.
- 5Étude de la limite : Comme la raison 1,08 > 1, la suite géométrique (vₙ) diverge vers +∞ (car v₀ > 0). Donc uₙ = vₙ + 250 diverge aussi vers +∞. Cela modélise une croissance non bornée de la capacité.
Exercice 2
Enonce
Exercice 2 — Probabilités (5 points)
Un laboratoire pharmaceutique teste un nouveau traitement contre une maladie. Les patients sont répartis en deux groupes : le groupe A reçoit le traitement, le groupe B reçoit un placebo. On sait que 60% des patients sont dans le groupe A. Après l'étude, on constate que 80% des patients du groupe A sont guéris, contre seulement 30% dans le groupe B.
Données: P(A)=0,6 ; P_A(G)=0,8 ; P_B(G)=0,3
- Calculer la probabilité qu'un patient pris au hasard soit guéri.
- Sachant qu'un patient est guéri, quelle est la probabilité qu'il ait reçu le traitement (groupe A) ?
- Le laboratoire affirme que le traitement triple les chances de guérison. Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
- On choisit maintenant 10 patients de manière indépendante. Quelle est la probabilité qu'au moins 8 d'entre eux soient guéris ?
- Combien de patients faudrait-il tester pour que la probabilité d'avoir au moins un patient guéri soit supérieure à 0,999 ?
Methode
Pour résoudre cet exercice de probabilités, il faut suivre une démarche structurée. D'abord, identifier les événements et les probabilités données. Ensuite, pour la question 1, utiliser la formule des probabilités totales pour calculer P(G). Pour la question 2, appliquer la formule de Bayes (ou la définition des probabilités conditionnelles) pour calculer P_G(A). La question 3 nécessite de comparer les probabilités conditionnelles de guérison avec et sans traitement. Pour les questions 4 et 5, reconnaître le schéma de Bernoulli et utiliser la loi binomiale. La question 4 demande le calcul d'une probabilité cumulative P(X≥8) avec la loi binomiale de paramètres n=10 et p=P(G). La question 5 implique de résoudre une inéquation avec la probabilité de l'événement complémentaire (aucun guéri). Il est crucial de bien définir les variables et de vérifier les hypothèses d'indépendance et de répétition identique pour la loi binomiale.
Points cles
- 1Formule des probabilités totales : Pour calculer la probabilité d'un événement G qui peut se produire via plusieurs chemins disjoints (A et B ici), on utilise P(G)=P(A∩G)+P(B∩G)=P(A)×P_A(G)+P(B)×P_B(G). C'est la clé de la question 1.
- 2Probabilité conditionnelle et formule de Bayes : P_G(A)=P(A∩G)/P(G). Cette formule permet de 'remonter' de l'effet (guérison) à la cause (avoir reçu le traitement A). C'est le cœur de la question 2.
- 3Interprétation de 'tripler les chances' : Il faut comparer la probabilité de guérison sachant A (avec traitement) à la probabilité de guérison sachant B (sans traitement). L'affirmation est exacte si P_A(G) = 3 × P_B(G). Attention, il ne s'agit pas de comparer P(A|G) et P(B|G).
- 4Loi binomiale : Lorsqu'on répète de manière indépendante n épreuves de Bernoulli identiques (ici : choisir un patient et observer s'il est guéri), le nombre de succès (guéris) X suit une loi binomiale B(n,p). P(X=k)=C_n^k × p^k × (1-p)^(n-k). Pour 'au moins 8', on calcule P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10).
- 5Événement complémentaire et résolution d'inéquation : Pour la question 5, l'événement 'au moins un patient guéri' a pour complémentaire 'aucun patient guéri'. Ainsi, P(au moins 1) = 1 - P(aucun) = 1 - (1-p)^n. Résoudre 1 - (1-p)^n > 0,999 conduit à une inéquation exponentielle à résoudre par le logarithme.
Exercice 3
Enonce
Exercice 3 — Fonctions et intégrales (5 points)
Une entreprise fabrique des pièces métalliques. Le coût marginal de production, exprimé en milliers d'euros par centaine de pièces, est modélisé par la fonction Cm définie sur l'intervalle [1; 10] par : Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8, où x représente le nombre de centaines de pièces produites.
Données: Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8 sur [1; 10]
- Calculer Cm(2) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
- Déterminer la primitive F de Cm sur [1; 10] qui s'annule en x = 1.
- Calculer l'intégrale I = ∫ de 1 à 4 de Cm(x) dx. Interpréter cette valeur.
- Montrer que l'équation Cm(x) = 0 admet deux solutions dans [1; 10] et déterminer ces solutions.
- En déduire le nombre de centaines de pièces à produire pour que le coût marginal soit minimal, et calculer ce coût marginal minimal.
Methode
Pour résoudre cet exercice, il faut aborder méthodiquement chaque question en utilisant les outils du calcul intégral et de l'étude de fonctions. Commencez par calculer simplement l'image d'une valeur par la fonction. Pour la primitive, rappelez-vous que les primitives d'un polynôme s'obtiennent en augmentant chaque exposant de 1 et en divisant par le nouvel exposant, puis ajoutez une constante d'intégration que vous déterminerez avec la condition initiale. Le calcul intégral utilise le lien entre primitive et intégrale via le théorème fondamental. Pour l'équation Cm(x)=0, utilisez le discriminant d'un trinôme du second degré. Enfin, le minimum d'une fonction dérivable s'obtient en étudiant le signe de sa dérivée ou, pour une parabole, en utilisant directement l'abscisse du sommet. Interprétez systématiquement les résultats numériques dans le contexte concret de l'énoncé (coût marginal, production).
Points cles
- 1Le coût marginal Cm(x) représente le coût de production d'une unité supplémentaire. Ici, il est exprimé en milliers d'euros par centaine de pièces. Cm(2) donne donc le coût de production de la 201ème à la 300ème pièce (approximativement).
- 2Une primitive F de Cm est une fonction dont la dérivée est Cm. Pour un polynôme, on primitive terme à terme : ∫(ax^n)dx = a/(n+1) x^(n+1) + constante. La condition F(1)=0 permet de déterminer la constante unique.
- 3L'intégrale ∫ de a à b de Cm(x) dx représente, dans ce contexte économique, l'augmentation totale du coût de production (coût total) lorsque la production passe de 'a' à 'b' centaines de pièces. C'est l'aire sous la courbe de Cm entre a et b.
- 4Résoudre Cm(x)=0, équation du second degré, permet de trouver les niveaux de production pour lesquels le coût marginal est nul. Le signe de Cm (négatif, nul, positif) a une interprétation économique sur l'évolution du coût total.
- 5Le coût marginal minimal est atteint au sommet de la parabole représentant Cm, car le coefficient de x² est positif (0,5>0). L'abscisse du sommet est donnée par x = -b/(2a) pour un trinôme ax²+bx+c. C'est le niveau de production le plus efficace du point de vue du coût marginal.
Exercice 4
Enonce
Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)
Un architecte conçoit une structure moderne en forme de pyramide à base triangulaire ABC, surmontée d'un point D. Les points sont placés dans un repère orthonormé (O, i, j, k).
Données: A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3), D(1, 2, 3)
- Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
- Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
- Calculer le volume de la pyramide ABCD.
- Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).
- Calculer la distance DH, qui représente la hauteur de la pyramide.
Methode
Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, il faut suivre une démarche logique et rigoureuse. D'abord, pour montrer que trois points ne sont pas alignés, on vérifie que les vecteurs formés ne sont pas colinéaires. Ensuite, pour déterminer l'équation d'un plan défini par trois points, on calcule un vecteur normal via le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs. Le volume d'une pyramide s'obtient en calculant l'aire de la base triangulaire et en la multipliant par la hauteur, puis en divisant par 3. Le projeté orthogonal d'un point sur un plan se trouve en utilisant la droite perpendiculaire au plan passant par le point, et en résolvant le système avec l'équation du plan. Enfin, la distance entre deux points se calcule avec la formule de la distance euclidienne. Il est crucial de vérifier chaque calcul intermédiaire et d'interpréter géométriquement les résultats.
Points cles
- 1Colinéarité des vecteurs : Pour montrer que A, B, C ne sont pas alignés, on montre que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de réel k tel que AB = k·AC. Cela garantit que les points définissent bien un plan.
- 2Équation cartésienne d'un plan : Un plan est défini par un point et un vecteur normal n(a, b, c). L'équation est ax + by + cz + d = 0. On trouve n en calculant le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan, comme AB et AC.
- 3Volume d'une pyramide : Le volume V = (1/3) × Aire(base) × Hauteur. L'aire du triangle ABC se calcule avec la moitié de la norme du produit vectoriel AB ∧ AC. La hauteur est la distance de D au plan (ABC).
- 4Projeté orthogonal : Le point H, projeté de D sur le plan (ABC), est l'intersection de la droite passant par D, de vecteur directeur le vecteur normal n au plan, avec le plan (ABC). On écrit les équations paramétriques de cette droite et on injecte dans l'équation du plan.
- 5Distance point-plan : La distance d'un point D(x0, y0, z0) à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par |ax0 + by0 + z0 + d| / √(a² + b² + c²). C'est aussi la norme du vecteur DH.
