Mathématiques - Bac 2023
Métropole - Session normale
Epreuve du 15 juin 2023
Consigne officielle
Le candidat est invité à traiter les quatre exercices.
Exercice 1
Enonce
Exercice 1 — Suites numériques (5 points)
Un laboratoire étudie la croissance d'une population de bactéries dans un milieu nutritif. Au début de l'expérience, on compte 1000 bactéries. Chaque heure, 20% des bactéries meurent, mais le laboratoire ajoute systématiquement 300 nouvelles bactéries.
Données: Population initiale : u₀ = 1000. Pour tout entier naturel n, uₙ désigne le nombre de bactéries après n heures.
- Calculer u₁ et u₂.
- Montrer que pour tout entier naturel n, uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 300.
- On considère la suite (vₙ) définie pour tout entier naturel n par vₙ = uₙ - 1500. Montrer que (vₙ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
- En déduire l'expression de uₙ en fonction de n.
- Déterminer au bout de combien d'heures la population de bactéries dépassera 1400 individus.
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les suites arithmético-géométriques, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, comprendre le phénomène modélisé : une population qui subit une diminution proportionnelle (20% meurent, donc 80% survivent) et un apport constant (300 nouvelles bactéries). Cette situation se traduit par une relation de récurrence linéaire uₙ₊₁ = a×uₙ + b. La méthode standard consiste à : 1) Calculer les premiers termes pour vérifier la compréhension du modèle. 2) Établir la relation de récurrence à partir de l'énoncé. 3) Rechercher un point fixe ℓ solution de ℓ = aℓ + b (ici ℓ = 1500). 4) Introduire une suite auxiliaire (vₙ) définie par vₙ = uₙ - ℓ, qui devient géométrique. 5) Exprimer le terme général de (vₙ), puis de (uₙ). 6) Utiliser cette expression pour répondre à des questions concrètes (seuil, limite). La clé est la manipulation algébrique pour transformer la suite arithmético-géométrique en suite géométrique simple.
Points cles
- 1Compréhension du modèle : Une diminution de 20% correspond à une multiplication par 0,8. L'ajout constant de 300 bactéries est une opération additive. La relation uₙ₊₁ = 0,8×uₙ + 300 combine ces deux effets.
- 2Recherche du point fixe : Pour une suite définie par uₙ₊₁ = a×uₙ + b, si elle converge, sa limite ℓ vérifie ℓ = aℓ + b, soit ℓ = b/(1-a) si a≠1. Ici, ℓ = 300/(1-0,8) = 1500. Ce point fixe est la valeur d'équilibre théorique de la population.
- 3Suite auxiliaire géométrique : En posant vₙ = uₙ - ℓ = uₙ - 1500, on soustrait le point fixe. Par substitution dans la relation de récurrence, on montre que vₙ₊₁ = a×vₙ. La suite (vₙ) est donc géométrique de raison a = 0,8. Cette transformation est la technique fondamentale pour résoudre ce type de suite.
- 4Expression du terme général : Pour une suite géométrique (vₙ) de raison q et de premier terme v₀, on a vₙ = v₀ × qⁿ. On en déduit uₙ = vₙ + ℓ = v₀ × qⁿ + ℓ. Cette formule explicite permet de calculer uₙ directement sans récurrence.
- 5Résolution d'inéquation : Pour déterminer quand uₙ > 1400, on utilise l'expression explicite de uₙ. On obtient une inéquation exponentielle. On la résout en utilisant le logarithme (népérien ou décimal) car n est un entier. Attention à l'ordre des inégalités lorsque la raison est entre 0 et 1 (la suite (vₙ) est décroissante).
Exercice 2
Enonce
Exercice 2 — Probabilités (5 points)
Une entreprise fabrique des composants électroniques. Chaque composant peut présenter deux défauts indépendants : un défaut A (probabilité 0,02) et un défaut B (probabilité 0,03). Un composant est défectueux s'il présente au moins un des deux défauts. On prélève au hasard un composant dans la production.
Données: P(A) = 0,02 ; P(B) = 0,03 ; A et B indépendants
- Calculer la probabilité que le composant présente les deux défauts A et B.
- Calculer la probabilité que le composant soit défectueux.
- Sachant que le composant est défectueux, calculer la probabilité qu'il présente le défaut A.
- L'entreprise teste maintenant 10 composants indépendamment. Calculer la probabilité qu'au moins un des 10 composants soit défectueux (arrondir à 10⁻³).
Methode
Pour résoudre cet exercice de probabilités, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, identifier clairement les événements et leurs probabilités données. Ensuite, exploiter l'indépendance des événements pour calculer la probabilité de leur intersection. Pour la probabilité de l'union (composant défectueux), utiliser la formule adaptée qui tient compte de l'indépendance. Pour la probabilité conditionnelle, appliquer la définition formelle. Enfin, pour la question sur les 10 composants, reconnaître une loi binomiale et calculer la probabilité de l'événement complémentaire pour simplifier les calculs. Vérifier systématiquement la cohérence des résultats (probabilités entre 0 et 1).
Points cles
- 1Indépendance des événements : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A) × P(B). C'est une donnée cruciale de l'exercice.
- 2Probabilité de l'union : Pour deux événements quelconques, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Avec l'indépendance, cela devient P(A) + P(B) - P(A)×P(B).
- 3Probabilité conditionnelle : La probabilité de A sachant D est définie par P(A|D) = P(A∩D) / P(D), à condition que P(D) > 0. Ici, D est 'le composant est défectueux'.
- 4Loi binomiale : Lorsqu'on répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, le nombre de succès suit une loi binomiale B(n,p). Ici, succès = 'composant défectueux'.
- 5Événement complémentaire : Pour calculer P('au moins un défectueux') sur 10 essais, il est plus simple de passer par le complémentaire : 1 - P('aucun défectueux').
Exercice 3
Enonce
Exercice 3 — Fonctions et intégrales (5 points)
Une entreprise produit des panneaux solaires. Le coût marginal de production, exprimé en milliers d'euros par centaine de panneaux, est modélisé par la fonction Cm définie sur [0; 10] par : Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8, où x est le nombre de centaines de panneaux produits.
Données: Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8 sur [0; 10]
- Calculer Cm(0) et Cm(10). Interpréter ces résultats dans le contexte.
- Étudier les variations de Cm sur [0; 10] et dresser son tableau de variations.
- Déterminer la primitive F de Cm qui s'annule en x = 0. Que représente F(x) dans le contexte de l'exercice ?
- Calculer l'intégrale I = ∫ de 0 à 10 Cm(x) dx. Interpréter la valeur obtenue.
- Déterminer la valeur moyenne du coût marginal sur l'intervalle [0; 10].
Methode
Pour résoudre cet exercice, il faut d'abord comprendre que le coût marginal représente le coût de production d'une unité supplémentaire. On travaille avec une fonction polynôme du second degré, donc on utilise les techniques d'étude de ces fonctions. Pour la question 1, on calcule simplement les images. Pour l'étude des variations (question 2), on calcule la dérivée, on cherche son signe (c'est une fonction affine) et on en déduit les variations. Pour la primitive (question 3), on utilise les formules de primitives des fonctions usuelles et on détermine la constante d'intégration grâce à la condition initiale. L'intégrale (question 4) se calcule soit via la primitive, soit directement avec les formules. Enfin, la valeur moyenne (question 5) s'obtient en divisant l'intégrale par la longueur de l'intervalle. L'interprétation économique est cruciale à chaque étape pour bien répondre aux questions.
Points cles
- 1Le coût marginal Cm(x) est le coût de production de la centaine de panneaux numéro x. C'est un concept économique important : il peut décroître au début (économies d'échelle) puis croître (déséconomies d'échelle).
- 2L'étude des variations d'une fonction polynôme du second degré passe par le calcul de sa dérivée Cm'(x) = x - 4. On résout Cm'(x) = 0 pour trouver x = 4, qui est le sommet de la parabole (ici un minimum car le coefficient de x² est positif).
- 3Une primitive F de Cm est une fonction dont la dérivée est Cm. Si F(0) = 0, alors F(x) représente le coût total de production des x premières centaines de panneaux, car le coût marginal est la dérivée du coût total.
- 4L'intégrale ∫ de a à b de Cm(x) dx représente, dans ce contexte, l'augmentation du coût total lorsque la production passe de a à b centaines de panneaux. C'est aussi l'aire sous la courbe de Cm entre a et b.
- 5La valeur moyenne d'une fonction f sur [a;b] est (1/(b-a)) * ∫ de a à b f(x) dx. Ici, c'est le coût marginal moyen par centaine de panneaux sur l'ensemble de la plage de production étudiée.
Exercice 4
Enonce
Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)
Un architecte conçoit une structure moderne en forme de pyramide à base carrée, représentée par le tétraèdre ABCD. Le point A est l'apex de la pyramide. Les points B, C et D forment la base carrée BCD, avec BC = CD = 6 m. La hauteur de la pyramide est telle que AB = AC = AD = 10 m.
Données: A(0,0,6√2), B(3,-3,0), C(3,3,0), D(-3,3,0)
- Vérifier que les points B, C et D définissent bien un carré de côté 6 m.
- Calculer les longueurs AB, AC et AD. En déduire que A est équidistant de B, C et D.
- Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
- Calculer le volume de la pyramide ABCD.
- Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de A sur le plan (BCD).
Methode
Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, il faut adopter une démarche méthodique. D'abord, vérifier les propriétés géométriques des points donnés en calculant les distances entre eux pour confirmer qu'ils forment bien un carré. Ensuite, utiliser la formule de distance dans l'espace pour calculer AB, AC et AD, ce qui permettra de montrer que A est équidistant de B, C et D. Pour déterminer l'équation du plan (BCD), on peut trouver deux vecteurs directeurs du plan (comme BC et BD), puis calculer un vecteur normal via le produit vectoriel. Le volume de la pyramide se calcule avec la formule V = (1/3) × Aire(base) × Hauteur, où la hauteur est la distance de A au plan (BCD). Enfin, pour trouver le projeté orthogonal H, on peut utiliser l'équation paramétrique de la droite perpendiculaire à (BCD) passant par A, puis résoudre le système avec l'équation du plan.
Points cles
- 1Vérification d'un carré : Pour montrer que BCD est un carré, il faut vérifier que les côtés sont égaux (BC = CD = BD = 6 m) et que les diagonales sont égales (BC ⊥ CD par exemple via produit scalaire nul).
- 2Distance dans l'espace : AB = √((xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²). Cette formule permet de vérifier l'équidistance et les longueurs données.
- 3Équation cartésienne d'un plan : Un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 a pour vecteur normal n⃗(a,b,c). On peut le trouver via produit vectoriel de deux vecteurs du plan, puis déterminer d en substituant un point du plan.
- 4Volume d'une pyramide : V = (1/3) × Aire(base) × h, où h est la distance du sommet A au plan de la base (BCD). L'aire de la base carrée est côté².
- 5Projeté orthogonal : Le point H est l'intersection de la droite perpendiculaire à (BCD) passant par A avec le plan (BCD). Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur normal du plan.
