Mathématiques - Bac 2025
Métropole - Session normale
Epreuve du 15 juin 2025
Consigne officielle
Le candidat est invité à traiter les quatre exercices.
Exercice 1
Enonce
Exercice 1 — Suites numériques (5 points)
Une entreprise de recyclage de plastique souhaite modéliser l'évolution de sa capacité de traitement. En 2025, elle peut traiter 500 tonnes par an. Chaque année, elle augmente sa capacité de 20 tonnes, mais parallèlement, 5% de ses équipements deviennent obsolètes et doivent être retirés du service.
Données: Capacité initiale (2025) : C₀ = 500 tonnes. Augmentation annuelle fixe : 20 tonnes. Taux de dépréciation annuel : 5%.
- On note Cₙ la capacité de traitement (en tonnes) prévue pour l'année (2025 + n). Montrer que pour tout entier naturel n, Cₙ₊₁ = 0,95 × Cₙ + 20.
- On définit la suite (uₙ) par uₙ = Cₙ - 400 pour tout n ∈ ℕ. Démontrer que (uₙ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
- En déduire l'expression de uₙ puis de Cₙ en fonction de n.
- Déterminer à partir de quelle année la capacité de traitement dépassera 600 tonnes.
- Étudier le sens de variation de la suite (Cₙ) et déterminer sa limite. Interpréter concrètement cette limite.
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les suites arithmético-géométriques, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, bien comprendre la modélisation : la capacité évolue avec une augmentation fixe (terme arithmétique) et une décroissance proportionnelle (terme géométrique). Pour la question 1, il s'agit d'exprimer Cₙ₊₁ en fonction de Cₙ en appliquant les deux phénomènes. Pour la question 2, on introduit une suite auxiliaire (uₙ) définie par uₙ = Cₙ - ℓ où ℓ est la limite potentielle de la suite. On vérifie alors que (uₙ) est géométrique en calculant uₙ₊₁ en fonction de uₙ. Une fois la raison et le premier terme déterminés, on en déduit l'expression explicite de uₙ puis de Cₙ. Pour les questions suivantes, on utilise cette expression pour résoudre une inéquation et étudier les variations. La clé est de reconnaître le type de suite et d'appliquer la méthode standard de résolution.
Points cles
- 1Reconnaître une suite arithmético-géométrique : Une suite (Cₙ) est dite arithmético-géométrique si elle vérifie une relation de récurrence de la forme Cₙ₊₁ = aCₙ + b avec a et b constants. Ici, a = 0,95 et b = 20.
- 2Méthode de la suite auxiliaire : Pour trouver une expression explicite de Cₙ, on introduit une suite (uₙ) définie par uₙ = Cₙ - ℓ, où ℓ est le point fixe de l'équation ℓ = aℓ + b. On montre alors que (uₙ) est géométrique, ce qui permet de trouver son expression.
- 3Calcul du point fixe : Le point fixe ℓ vérifie ℓ = aℓ + b, soit ℓ(1 - a) = b. Donc ℓ = b/(1 - a). Ici, ℓ = 20/(1 - 0,95) = 20/0,05 = 400. C'est pourquoi on définit uₙ = Cₙ - 400.
- 4Résolution d'inéquation avec suite géométrique : Pour déterminer quand Cₙ > 600, on utilise l'expression explicite de Cₙ. On obtient une inéquation faisant intervenir une puissance de la raison. On la résout en utilisant le logarithme népérien, en veillant au sens de variation de la fonction ln.
- 5Étude de la limite : Pour une suite arithmético-géométrique avec 0 < a < 1, la suite converge vers son point fixe ℓ. Ici, a = 0,95 donc |a| < 1, donc (Cₙ) converge vers ℓ = 400. Cependant, il faut analyser la cohérence avec le sens de variation et le contexte.
Exercice 2
Enonce
Exercice 2 — Probabilités (5 points)
Un laboratoire pharmaceutique teste un nouveau traitement contre une maladie. Les patients sont répartis en deux groupes : le groupe A reçoit le traitement, le groupe B reçoit un placebo. On sait que 60% des patients sont dans le groupe A. Après un mois, on observe si les patients sont guéris ou non.
Données:
- Probabilité qu'un patient du groupe A soit guéri : 0,85
- Probabilité qu'un patient du groupe B soit guéri : 0,40
- On choisit un patient au hasard parmi tous les participants.
- Calculer la probabilité que le patient soit dans le groupe A et guéri.
- Montrer que la probabilité qu'un patient soit guéri est égale à 0,67.
- Sachant qu'un patient est guéri, quelle est la probabilité qu'il ait reçu le traitement (groupe A) ? Arrondir au millième.
- Le laboratoire affirme que le traitement triple les chances de guérison. Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier par un calcul.
Methode
Pour résoudre cet exercice de probabilités avec groupes de traitement, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, identifier clairement les événements et leurs notations : A = "patient du groupe A", B = "patient du groupe B", G = "patient guéri". Ensuite, traduire les données probabilistes de l'énoncé. Pour les questions 1 et 2, on utilise la formule des probabilités totales et le calcul d'intersection. La question 3 nécessite l'application de la formule de Bayes pour une probabilité conditionnelle inverse. Enfin, la question 4 demande une interprétation comparative des probabilités conditionnelles. Il est crucial de vérifier la cohérence des résultats et de bien arrondir selon les consignes. Une représentation par un arbre pondéré peut faciliter la visualisation des différentes probabilités.
Points cles
- 1Définition des événements : Il est essentiel de définir clairement les événements pour éviter les confusions. Ici, A : "le patient est dans le groupe A", B : "le patient est dans le groupe B", G : "le patient est guéri". On a P(A)=0.6, donc P(B)=0.4.
- 2Probabilité de l'intersection : Pour calculer P(A∩G), on utilise la formule P(A∩G) = P(A) × P_A(G) = 0.6 × 0.85. C'est une application directe de la définition d'une probabilité conditionnelle.
- 3Formule des probabilités totales : Pour trouver P(G), on décompose l'événement G selon les groupes A et B, qui forment une partition de l'univers. P(G) = P(A∩G) + P(B∩G) = P(A)×P_A(G) + P(B)×P_B(G).
- 4Probabilité conditionnelle inverse (Bayes) : Pour P_G(A), la probabilité que le patient soit du groupe A sachant qu'il est guéri, on utilise P_G(A) = P(A∩G) / P(G). C'est une application cruciale du théorème de Bayes.
- 5Interprétation des "chances" : L'affirmation "tripler les chances" se traduit en comparant les probabilités conditionnelles de guérison : P_A(G) et P_B(G). Il faut vérifier si P_A(G) = 3 × P_B(G).
Exercice 3
Enonce
Exercice 3 — Fonctions et intégrales (5 points)
Une entreprise fabrique des pièces métalliques. Le coût marginal de production, exprimé en euros par centaine de pièces, est modélisé par la fonction Cm définie sur [0; 10] par Cm(x) = 0,5x² - 3x + 5, où x est le nombre de centaines de pièces produites.
Données: Cm(x) = 0,5x² - 3x + 5 ; Coût fixe: 200 €
- Calculer Cm(0) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
- Déterminer la quantité de pièces pour laquelle le coût marginal est minimal. Quel est ce coût marginal minimal ?
- On note CT la fonction coût total de production. Sachant que CT'(x) = Cm(x) et que CT(0) = 200, déterminer l'expression de CT(x).
- Calculer l'intégrale ∫ de 2 à 6 de Cm(x) dx. Interpréter cette valeur dans le contexte économique.
- L'entreprise vend ses pièces 8 € par centaine. À partir de quelle quantité produite (en centaines) l'entreprise devient-elle rentable ?
Methode
Pour résoudre cet exercice, il faut d'abord comprendre les notions économiques : le coût marginal représente le coût de production d'une unité supplémentaire, et le coût total inclut les coûts fixes. On commence par calculer des valeurs spécifiques de la fonction donnée. Ensuite, on utilise la dérivation pour trouver les extremums (minimum du coût marginal). Pour déterminer le coût total, on intègre le coût marginal car CT' = Cm, en utilisant la condition initiale CT(0) = coût fixe. Le calcul d'intégrale nécessite de trouver une primitive de Cm et d'appliquer la formule de calcul intégral. Enfin, pour la rentabilité, on établit une inéquation entre recette et coût total. Il est crucial de vérifier les unités (centaines de pièces, euros) et de bien interpréter chaque résultat dans le contexte économique de l'entreprise.
Points cles
- 1Coût marginal et coût total : Le coût marginal Cm(x) est la dérivée du coût total CT(x). Ainsi, CT est une primitive de Cm. La condition CT(0) = 200 (coût fixe) permet de déterminer la constante d'intégration.
- 2Minimum d'une fonction du second degré : La fonction Cm(x) = 0,5x² - 3x + 5 est une parabole convexe (coefficient de x² positif). Son minimum est atteint en x = -b/(2a) = 3/(2*0,5) = 3. On calcule ensuite Cm(3) pour obtenir le coût marginal minimal.
- 3Calcul intégral et interprétation économique : L'intégrale de Cm sur un intervalle [a; b] représente la variation du coût total entre les productions a et b centaines de pièces. C'est-à-dire ∫(a à b) Cm(x) dx = CT(b) - CT(a).
- 4Rentabilité : L'entreprise est rentable lorsque la recette totale (prix de vente × quantité) dépasse le coût total. Ici, la recette pour x centaines de pièces est R(x) = 8x. On résout l'inéquation R(x) > CT(x) pour trouver la quantité minimale de rentabilité.
- 5Primitivation d'un polynôme : Pour trouver CT, primitive de Cm(x)=0,5x² - 3x + 5, on augmente l'exposant de chaque terme de 1 et on divise par le nouvel exposant : CT(x) = (0,5/3)x³ - (3/2)x² + 5x + k, avec k constante déterminée par CT(0)=200.
Exercice 4
Enonce
Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)
Un architecte conçoit une structure moderne en forme de pyramide à base carrée, destinée à abriter une salle d'exposition. Pour les calculs de stabilité, il modélise la structure dans un repère orthonormé de l'espace.
Données: Dans le repère (O; i, j, k), on donne les points A(2;0;0), B(0;2;0), C(-2;0;0), D(0;-2;0) formant la base carrée, et S(0;0;4) le sommet de la pyramide.
- Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires et forment un carré. Calculer son aire.
- Démontrer que la droite (SA) est orthogonale au plan (BCD).
- Calculer le volume de la pyramide SABCD.
- Déterminer une équation cartésienne du plan (SAB). En déduire la distance du point C à ce plan.
Methode
Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, il faut systématiquement utiliser les coordonnées des points et les outils vectoriels. Pour montrer la coplanarité, on vérifie que tous les points appartiennent à un même plan, souvent en montrant que deux vecteurs directeurs du plan sont colinéaires à ceux formés par les points. Pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré, on vérifie les longueurs des côtés (égales) et l'orthogonalité des vecteurs adjacents via le produit scalaire nul. L'orthogonalité d'une droite à un plan se démontre en montrant que le vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur normal du plan, ou que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan. Le volume d'une pyramide se calcule avec la formule (1/3)×Aire_base×Hauteur, où la hauteur est la distance du sommet au plan de la base. Pour une équation cartésienne de plan, on détermine un vecteur normal via un produit vectoriel de deux vecteurs directeurs, puis on utilise la condition d'appartenance d'un point. La distance d'un point à un plan s'obtient avec la formule analytique utilisant l'équation du plan.
Points cles
- 1Coplanarité et carré : Pour montrer que A, B, C, D sont coplanaires, on vérifie qu'ils appartiennent tous au plan d'équation z=0 (car leurs coordonnées z sont nulles). Pour prouver que ABCD est un carré, on calcule les longueurs AB, BC, CD, DA (toutes égales à √8) et les produits scalaires AB·BC, BC·CD, etc. (tous nuls), confirmant angles droits et côtés égaux.
- 2Orthogonalité droite/plan : Pour montrer que (SA) est orthogonale au plan (BCD), on prouve que le vecteur SA est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), par exemple BD et BC, en calculant les produits scalaires SA·BD et SA·BC qui doivent être nuls.
- 3Volume de la pyramide : Le volume V = (1/3) × Aire_base × Hauteur. L'aire de la base carrée est (AB)². La hauteur est la distance du sommet S au plan de la base (z=0), soit |z_S| = 4.
- 4Équation cartésienne d'un plan : Pour le plan (SAB), on détermine un vecteur normal n via le produit vectoriel des vecteurs SA et SB. L'équation est alors n_x(x - x_A) + n_y(y - y_A) + n_z(z - z_A)=0, qu'on simplifie.
- 5Distance point-plan : Si le plan (SAB) a pour équation ax+by+cz+d=0, la distance de C(x_C,y_C,z_C) à ce plan est |ax_C+by_C+cz_C+d| / √(a²+b²+c²).
