Quelle est la différence entre logarithme népérien et logarithme décimal ?

Le logarithme népérien (ln) a pour base e ≈ 2,718, tandis que le logarithme décimal (log) a pour base 10. En terminale, on utilise principalement ln.

Comment dériver une fonction avec ln ?

La dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x). Par exemple, pour f(x) = ln(3x+1), f'(x) = 3/(3x+1).

Quelles sont les limites de ln à connaître pour le Bac ?

Les limites essentielles : ln(x) → –∞ quand x → 0⁺, ln(x) → +∞ quand x → +∞, ln(x)/x → 0 en +∞, et x ln(x) → 0 en 0⁺.

Comment résoudre une équation avec ln ?

On utilise l'injectivité : ln(A) = ln(B) ⇔ A = B (avec A>0 et B>0). Ou on passe à l'exponentielle : ln(A) = k ⇔ A = e^k.

La fonction ln est-elle toujours croissante ?

Oui, la fonction ln est strictement croissante sur son domaine ]0 ; +∞[.

Comment étudier le signe d'une expression avec ln ?

On résout ln(…) > 0 ⇔ … > 1, ln(…) = 0 ⇔ … = 1, ln(…) < 0 ⇔ … < 1, en respectant le domaine.

Bac 2026 : tout savoir sur la fonction logarithme népérien

Tu es en Terminale et tu prépares le Bac 2026 ? La fonction logarithme népérien (ln) est une notion clé du programme de spécialité maths. Elle tombe régulièrement aux épreuves écrites et peut aussi être abordée au Grand Oral. Pas de panique : avec une bonne méthode, tu peux la maîtriser. Dans cet article, on te dit tout ce qu’il faut savoir pour le jour J : définition, propriétés, étude de fonction, résolution d’équations et inéquations, et même un exemple type Bac. Prêt ? C’est parti !

Qu’est-ce que le logarithme népérien ?

Le logarithme népérien, noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Autrement dit, pour tout réel x > 0, ln(x) est le nombre tel que e^ln(x) = x. De même, pour tout réel y, ln(e^y) = y.

Son domaine de définition est ]0 ; +∞[. Elle est strictement croissante et sa dérivée est 1/x. Sa courbe représentative admet une asymptote verticale en x = 0 (axe des ordonnées).

Propriétés algébriques à connaître

ln(1) = 0
ln(e) = 1
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) pour a > 0, b > 0
ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
ln(aⁿ) = n ln(a) pour n entier relatif
ln(√a) = ½ ln(a)

Ces propriétés te permettent de simplifier des expressions ou de résoudre des équations et inéquations.

Étude complète de la fonction ln

Pour le Bac, tu dois savoir étudier une fonction contenant ln. Voici les étapes à suivre :

Étape 1 : Domaine de définition

On cherche les valeurs de x pour lesquelles l’expression sous le ln est strictement positive. Par exemple, pour f(x) = ln(x – 2), il faut x – 2 > 0, soit x > 2.

Étape 2 : Dérivée

La dérivée de ln(u(x)) est u'(x)/u(x). Par exemple, si f(x) = ln(x² + 1), alors f'(x) = (2x)/(x² + 1).

Étape 3 : Sens de variation

On étudie le signe de la dérivée. Comme ln est strictement croissante sur son domaine, le signe de f' dépend du signe de u'(x) et du fait que u(x) > 0.

Étape 4 : Limites et asymptotes

lim_x→0⁺ ln(x) = –∞
lim_x→+∞ ln(x) = +∞
lim_x→+∞ ln(x)/x = 0 (croissance lente)
lim_x→0⁺ x ln(x) = 0

Ces limites sont souvent utilisées dans les calculs de limites de fonctions composées.

Exemple type Bac : étude d’une fonction avec ln

Voici un exercice typique que tu pourrais rencontrer :

Énoncé : On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln(x) – x + 2.

Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
Calculer f'(x) et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de f.
Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans ]0 ; +∞[ et donner un encadrement de α à 0,1 près.

Corrigé :

lim_x→0⁺ f(x) = –∞ (car ln(x) → –∞ et –x → 0). lim_x→+∞ f(x) = –∞ (car ln(x) – x → –∞).
f'(x) = 1/x – 1 = (1 – x)/x. Le signe est celui de (1 – x) car x > 0. Donc f'(x) > 0 pour x < 1, f'(1) = 0, f'(x) < 0 pour x > 1.
Tableau : f croît de –∞ à f(1) = 1, puis décroît de 1 à –∞. Maximum en x = 1.
Sur ]0 ; 1], f est continue et strictement croissante, avec f(0+) = –∞ et f(1) = 1 > 0, donc une unique solution α dans ]0 ; 1]. Par balayage, α ≈ 0,3.

Résoudre équations et inéquations avec ln

Pour résoudre ln(A) = ln(B), on utilise l’injectivité : A = B (avec A > 0 et B > 0). Pour ln(A) > ln(B), on utilise la croissance : A > B (toujours avec A > 0, B > 0).

Attention : il faut toujours vérifier les conditions d’existence (domaine).

Erreurs fréquentes à éviter le jour du Bac

Oublier le domaine : ne jamais écrire ln(x) sans vérifier que x > 0.
Confondre ln et log : le logarithme népérien est ln, pas log (logarithme décimal).
Mal appliquer les propriétés : ln(a + b) n’est pas égal à ln(a) + ln(b).
Oublier les limites : les limites de ln sont souvent demandées.
Négliger les justifications : il faut toujours vérifier les hypothèses avant d’utiliser un théorème (continuité, monotonie…).

Conseils de révision pour le Bac 2026

Pour t’entraîner, n’hésite pas à consulter les annales du Bac et à faire des exercices sur la fonction ln. Tu trouveras aussi des cours et des fiches pour réviser efficacement. Si tu as besoin de revoir les bases, va voir du côté des ressources pour le lycée.

Conclusion

La fonction logarithme népérien est un incontournable du Bac 2026. En maîtrisant sa définition, ses propriétés et les méthodes d’étude, tu mettras toutes les chances de ton côté. N’oublie pas de t’entraîner régulièrement avec des exercices types et de vérifier chaque étape. Tu es capable de réussir, alors fonce !