📘 Corrigé et explications (7 questions)
1. Calcule la limite suivante :
lim_{x→+∞} (3x^2 + 2x - 1) / (x^2 - 4).Bravo ! La limite est 3 car les termes de plus haut degré dominent.
2. Calcule la dérivée de f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2x - 7. Donne f'(1).
Exact ! f'(x) = 20x^3 - 6x + 2, donc f'(1) = 20 - 6 + 2 = 16.
3. Calcule la limite :
lim_{x→0} (sin(3x) / x).Parfait ! Utilise la limite classique sin(u)/u → 1, avec u=3x, donc sin(3x)/x = 3 * sin(3x)/(3x) → 3.
4. Soit f(x) = e^{2x} * ln(x). Calcule f'(1).
Correct ! f'(x) = 2e^{2x} ln(x) + e^{2x}/x, donc f'(1) = 2e^2*0 + e^2/1 = e^2 ≈ 7.389. Attends, vérifions : e^2 ≈ 7.389, mais la réponse attendue est 2.718 ? Erreur de calcul ! En fait f'(1) = e^2 ≈ 7.389. Je corrige : la réponse est 7.389. Désolé, l'IA a fait une erreur. Veuillez corriger.
5. Calcule la limite :
lim_{x→+∞} (x^2 * e^{-x}).Exact ! Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur la puissance, donc la limite est 0.
6. Soit f(x) = (2x+1)/(x-3). Calcule f'(2).
Bravo ! f'(x) = (2(x-3) - (2x+1)1)/(x-3)^2 = (2x-6-2x-1)/(x-3)^2 = -7/(x-3)^2. Donc f'(2) = -7/( -1)^2 = -7.
7. Calcule la limite :
lim_{x→1} (ln(x) / (x-1)).Parfait ! C'est la définition du nombre dérivé de ln en 1 : lim_{x→1} (ln(x)-ln(1))/(x-1) = ln'(1) = 1.
