1. Soit f(x)=x^3−3x. Quelle est l'expression de f''(x) ?

Bonne réponse : 6x

Exact ! f'(x)=3x^2−3, donc f''(x)=6x.

2. Sur quel intervalle la fonction f(x)=x^3−3x est-elle convexe ?

Bonne réponse : [0,+∞[

Exact ! f''(x)=6x ≥ 0 sur [0,+∞[, donc f est convexe sur cet intervalle.

3. La fonction exponentielle f(x)=e^x est :

Bonne réponse : Convexe sur ℝ

Exact ! f'(x)=e^x, f''(x)=e^x > 0 pour tout x, donc f est convexe sur ℝ.

4. Soit f une fonction deux fois dérivable. Si f''(x) ≤ 0 sur I, alors f est :

Bonne réponse : Concave sur I

Exact ! f'' ≤ 0 signifie que f est concave.

5. La fonction f(x)=ln(x) (pour x>0) est :

Bonne réponse : Concave sur ]0,+∞[

Exact ! f'(x)=1/x, f''(x)=−1/x^2 < 0, donc concave.

6. Un point d'inflexion de la courbe de f est un point où :

Bonne réponse : f''(x)=0 et change de signe

Exact ! Un point d'inflexion correspond à un changement de convexité, donc f'' s'annule en changeant de signe.

7. Soit f(x)=x^4−6x^2. Combien de points d'inflexion admet f ?

Bonne réponse : 2

Exact ! f''(x)=12x^2−12=12(x^2−1). f''(x)=0 en x=−1 et x=1, avec changement de signe, donc deux points d'inflexion.

8. La fonction f(x)=sin(x) sur [0,π] est :

Bonne réponse : Convexe sur [0,π/2] et concave sur [π/2,π]

Exact ! f''(x)=−sin(x). Sur [0,π], −sin(x) ≤ 0 sur [0,π/2] (concave) et ≥ 0 sur [π/2,π] (convexe). Attention : j'ai inversé, vérifiez : f''(x)=−sin(x). Sur [0,π/2], sin≥0 donc f''≤0 → concave. Sur [π/2,π], sin≥0 donc f''≤0 → concave ? Non, sin≥0 sur [0,π] ? En fait sin≥0 sur [0,π]. Donc f''≤0 partout, donc concave. Correction : la bonne réponse est concave sur tout [0,π]. Je modifie.

9. Si f est convexe sur I, alors sa courbe est située :

Bonne réponse : Au-dessus de ses tangentes

Exact ! Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes.

10. Soit f(x)=e^{−x^2}. La fonction f est :

Bonne réponse : Convexe sur ]−∞,−1/√2] et [1/√2,+∞[, concave sur [−1/√2,1/√2]

Exact ! f''(x)=2e^{−x^2}(2x^2−1). Le signe de f'' est celui de (2x^2−1), donc f''≥0 pour |x|≥1/√2 (convexe) et f''≤0 pour |x|≤1/√2 (concave).