Géométrie dans l'espace - Terminale
Cours complet conforme au programme du Bac 2025. Toutes les notions essentielles avec démonstrations, exemples résolus et exercices corrigés.
A) Vecteurs de l'espace
Théorème fondamental
Dans l'espace, trois vecteurs non coplanaires forment une base. Pour tout vecteur w⃗, il existe un unique triplet (x, y, z) tel que :w⃗ = xu⃗ + yv⃗ + zk⃗
Colinéarité
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que :u⃗ = kv⃗
En coordonnées : u⃗(x,y,z) et v⃗(x',y',z') sont colinéaires si :x/x' = y/y' = z/z'
Coplanarité
Trois vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels α et β tels que :w⃗ = αu⃗ + βv⃗
En coordonnées, ils sont coplanaires si le déterminant de leurs coordonnées est nul.
Exemple résolu
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne A(1,2,3), B(4,5,6), C(2,3,1). Les vecteurs AB⃗ et AC⃗ sont-ils colinéaires ?
Solution :
AB⃗ = (4-1, 5-2, 6-3) = (3,3,3)
AC⃗ = (2-1, 3-2, 1-3) = (1,1,-2)
On cherche k tel que (3,3,3) = k(1,1,-2).
De 3 = k×1 et 3 = k×1, on aurait k=3, mais 3 ≠ 3×(-2) = -6.
Donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Exercice d'application
Exercice : Soit les points D(1,0,2), E(3,2,4), F(0,1,3). Montrer que les vecteurs DE⃗ et DF⃗ ne sont pas colinéaires. Les points D, E, F sont-ils alignés ?
Correction :
DE⃗ = (2,2,2)
DF⃗ = (-1,1,1)
S'ils étaient colinéaires, on aurait 2/(-1) = 2/1 = 2/1, ce qui est faux (2/(-1) = -2 ≠ 2).
Donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés.
