Mathématiques - Bac 2024
Métropole - Session normale
Epreuve du 19 juin 2024
Consigne officielle
Le candidat est invité à traiter les quatre exercices. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1
Enonce
Exercice 1 — Vrai/Faux (Équations différentielles et suites)
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Criteres d'evaluation
Methode
Pour résoudre un exercice Vrai/Faux en mathématiques au baccalauréat, il faut adopter une démarche rigoureuse. Premièrement, lire attentivement chaque affirmation en identifiant les notions mathématiques impliquées (équations différentielles, suites, etc.). Deuxièmement, analyser l'énoncé : est-ce une proposition générale ? Contient-elle des conditions initiales ? Troisièmement, tenter de prouver la véracité de l'affirmation. Si on y parvient avec un raisonnement mathématique correct, l'affirmation est vraie. Si on rencontre une contradiction ou un contre-exemple, elle est fausse. Il est crucial de justifier complètement la réponse, soit par un calcul, soit par un théorème approprié, soit en exhibant un contre-exemple explicite. Pour les équations différentielles, penser à vérifier les conditions d'application des théorèmes d'unicité et d'existence. Pour les suites, distinguer clairement les définitions (monotonie, convergence, récurrence). Ne jamais se contenter d'une intuition ; toujours appuyer la réponse sur des arguments mathématiques solides.
Points cles
- 1Équations différentielles y' = ay : Les solutions sont de la forme x → Ce^(ax) où C est une constante réelle déterminée par la condition initiale. L'unicité de la solution pour une condition initiale donnée est fondamentale.
- 2Suites arithmético-géométriques : Pour une suite définie par u_{n+1} = au_n + b (avec a≠1), la suite (v_n) définie par v_n = u_n - b/(1-a) est géométrique de raison a. Cela permet de trouver l'expression explicite de u_n.
- 3Contre-exemple : Pour prouver qu'une affirmation est fausse, il suffit de trouver un seul exemple concret qui la contredit. Cet exemple doit être simple, clair et vérifier toutes les hypothèses de l'énoncé sauf la conclusion.
- 4Condition nécessaire et suffisante : Bien distinguer les implications. Une affirmation du type 'Si A alors B' est fausse si l'on peut avoir A vrai et B faux. Une affirmation 'A si et seulement si B' est fausse si l'une des deux implications est fausse.
- 5Analyse des hypothèses : Vérifier scrupuleusement que tous les éléments de l'affirmation sont utilisés dans la justification. Une hypothèse oubliée (comme a ≠ 1) peut conduire à une erreur.
Exercice 2
Enonce
Exercice 2 — Probabilités (Satisfaction clients)
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l'occasion de l'achat d'un téléviseur.
Criteres d'evaluation
Methode
Pour résoudre cet exercice de probabilités combinant probabilités conditionnelles et loi binomiale, il faut d'abord identifier les événements et les probabilités données. On commence par traduire l'énoncé en langage probabiliste en définissant clairement les événements (par exemple : S = 'le client est satisfait'). Ensuite, on utilise systématiquement un arbre pondéré pour visualiser les différentes situations et calculer les probabilités intermédiaires. Pour les questions sur la loi binomiale, on vérifie les conditions d'application : répétition d'expériences identiques et indépendantes, deux issues possibles (succès/échec), probabilité constante. On calcule ensuite les probabilités demandées en utilisant les formules appropriées, en faisant attention aux notations (P(A∩B), P_A(B), etc.). La rédaction doit être rigoureuse avec toutes les étapes de calcul explicitées.
Points cles
- 1Définition des événements : Il est crucial de commencer par définir clairement les événements avec des notations compréhensibles (ex: S = 'client satisfait', T = 'client a contacté le service'). Cela évite les confusions dans les calculs ultérieurs.
- 2Utilisation de l'arbre pondéré : L'arbre permet de visualiser toutes les issues possibles et de calculer les probabilités composées. Les probabilités sur les branches du premier niveau sont des probabilités simples, celles du second niveau sont des probabilités conditionnelles.
- 3Calcul des probabilités conditionnelles : Bien maîtriser la formule P(A∩B) = P(A) × P_A(B) et savoir la réarranger pour trouver P_A(B) = P(A∩B)/P(A) quand nécessaire. Vérifier que le dénominateur n'est pas nul.
- 4Reconnaître une loi binomiale : Identifier quand on répète n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli (probabilité p constante). Les paramètres sont n (nombre de répétitions) et p (probabilité du succès).
- 5Calcul avec la loi binomiale : Utiliser la formule P(X=k) = C_n^k × p^k × (1-p)^(n-k) pour calculer la probabilité d'avoir exactement k succès. Pour 'au moins' ou 'au plus', penser à utiliser l'événement contraire ou sommer plusieurs probabilités.
Exercice 3
Enonce
Exercice 3 — Géométrie dans l'espace
On considère un repère orthonormé de l'espace.
Criteres d'evaluation
Methode
Pour résoudre un exercice de géométrie dans l'espace dans un repère orthonormé, il faut d'abord bien visualiser la configuration spatiale. La méthode repose sur l'utilisation systématique des coordonnées des points, des vecteurs et des équations. Il est essentiel de maîtriser le calcul vectoriel : déterminer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, calculer le produit scalaire pour vérifier l'orthogonalité ou calculer un angle, et utiliser le produit vectoriel pour trouver un vecteur normal à un plan. Pour les plans, on utilise généralement une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0, dont (a, b, c) est un vecteur normal. Pour les droites, on emploie une représentation paramétrique. La résolution passe souvent par la mise en équation des conditions géométriques (alignement, orthogonalité, appartenance à un plan) et la résolution du système obtenu. Il faut être rigoureux dans les calculs et interpréter les résultats dans le contexte géométrique.
Points cles
- 1Coordonnées et vecteurs : Dans un repère orthonormé (O, i, j, k), un point M a pour coordonnées (x, y, z). Le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA, zB - zA). Ces coordonnées sont la base de tous les calculs.
- 2Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs u(x, y, z) et v(x', y', z') est u·v = xx' + yy' + zz'. S'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux. Il permet aussi de calculer les longueurs (||u||² = u·u) et les angles.
- 3Équation d'un plan : Un plan est défini par un point A et un vecteur normal n(a, b, c). Son équation cartésienne est a(x - xA) + b(y - yA) + c(z - zA) = 0, soit ax + by + cz + d = 0. Un point M appartient au plan si ses coordonnées vérifient cette équation.
- 4Représentation d'une droite : Une droite peut être définie par un point A et un vecteur directeur u(α, β, γ). Une représentation paramétrique est : x = xA + αt, y = yA + βt, z = zA + γt, avec t ∈ ℝ. L'intersection avec un plan se trouve en injectant ces expressions dans l'équation du plan.
- 5Distance point-plan : La distance d'un point B(xB, yB, zB) à un plan P d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par d(B, P) = |a*xB + b*yB + c*zB + d| / √(a² + b² + c²). Cette formule est cruciale pour les problèmes de distances.
Exercice 4
Enonce
Exercice 4 — Fonctions (Logarithme et intégrales)
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[.
Criteres d'evaluation
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les fonctions logarithme et intégrales, il faut adopter une démarche rigoureuse en plusieurs étapes. D'abord, analyser précisément l'énoncé et le domaine de définition. Ensuite, étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée, en déterminant son signe, et en établissant le tableau de variations complet avec limites aux bornes. Pour la partie intégrale, identifier la primitive appropriée en utilisant les formules de base du logarithme, puis appliquer le théorème fondamental de l'intégration. Vérifier systématiquement les calculs, particulièrement les simplifications de logarithmes et les opérations sur les fractions. Interpréter géométriquement les résultats lorsque c'est pertinent. Cette approche méthodique permet de traiter tous les aspects : analyse fonctionnelle, calcul différentiel et intégral.
Points cles
- 1Domaine de définition : Pour les fonctions logarithmes, l'argument doit être strictement positif. Si f(x) = ln(u(x)), alors on résout u(x) > 0. Ce point est crucial pour débuter l'étude.
- 2Dérivée logarithmique : Si f(x) = ln(u(x)), alors f'(x) = u'(x)/u(x). Cette formule est fondamentale pour l'étude des variations. Attention à bien dériver l'argument u(x) au numérateur.
- 3Tableau de variations : Après calcul de la dérivée, on étudie son signe (souvent via le signe du numérateur car le dénominateur est positif sur le domaine). On calcule les limites aux bornes du domaine et les valeurs aux points clés.
- 4Primitive du logarithme : Une primitive de ln(x) est x·ln(x) - x + C. Pour ln(ax+b), on utilise une intégration par parties ou un changement de variable. Connaître cette primitive est essentiel pour le calcul intégral.
- 5Propriétés algébriques du logarithme : ln(a) - ln(b) = ln(a/b), n·ln(a) = ln(a^n). Ces propriétés servent à simplifier les expressions avant dérivation ou après intégration.
