Mathématiques - Bac 2024
Métropole - Session normale
Epreuve du 15 juin 2024
Consigne officielle
Le candidat est invité à traiter les quatre exercices.
Exercice 1
Enonce
Exercice 1 — Suites numériques (5 points)
Un laboratoire pharmaceutique étudie la diffusion d'un nouveau médicament. Lors de sa commercialisation, 50 000 boîtes sont vendues le premier mois. Chaque mois, on estime que 80% des clients du mois précédent renouvellent leur achat, et 15 000 nouveaux clients achètent le médicament.
Données: u₁ = 50 000 ; pour tout n ≥ 1, u_{n+1} = 0,8 × u_n + 15 000
- Calculer u₂ et u₃. Donner les résultats arrondis à l'unité.
- On considère la suite (v_n) définie pour tout n ≥ 1 par v_n = u_n - 75 000. Montrer que (v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
- En déduire l'expression de v_n puis de u_n en fonction de n.
- Déterminer à partir de quel mois le nombre mensuel de boîtes vendues dépassera 74 000.
- Étudier la limite de la suite (u_n) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les suites arithmético-géométriques, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, comprendre la définition récurrente de la suite (u_n) qui combine une multiplication par un coefficient (0,8) et une addition d'une constante (15 000). Pour les calculs initiaux, appliquer simplement la formule de récurrence. La clé est ensuite d'introduire une suite auxiliaire (v_n) définie par v_n = u_n - l, où l est la solution de l'équation de point fixe l = 0,8l + 15 000. Cette transformation permet de se ramener à une suite géométrique plus simple à étudier. Une fois l'expression explicite de u_n obtenue, on peut répondre aux questions de seuil et de limite. Il est crucial de vérifier les calculs intermédiaires et de bien interpréter les résultats dans le contexte concret de l'énoncé.
Points cles
- 1Comprendre la structure arithmético-géométrique : La suite (u_n) est définie par u_{n+1} = a × u_n + b avec a = 0,8 et b = 15 000. Cette forme est caractéristique et appelle une méthode de résolution standard.
- 2Trouver le point fixe : Résoudre l'équation l = a × l + b donne la valeur limite potentielle l = b/(1-a). Ici, l = 15 000/(1-0,8) = 75 000. Cette valeur est centrale pour la suite auxiliaire.
- 3Construire la suite géométrique auxiliaire : Poser v_n = u_n - l. En substituant dans la relation de récurrence, on montre que v_{n+1} = a × v_n, prouvant que (v_n) est géométrique de raison a. Cela simplifie radicalement l'étude.
- 4Déduire les formules explicites : Une fois (v_n) reconnue comme géométrique, on a v_n = v_1 × a^{n-1}. En remplaçant v_n par u_n - l, on obtient l'expression de u_n en fonction de n : u_n = l + (u_1 - l) × a^{n-1}.
- 5Interpréter la limite : Comme |a| < 1, la suite géométrique (a^{n-1}) tend vers 0. Donc (u_n) converge vers le point fixe l. Concrètement, le nombre mensuel de ventes se stabilise autour de 75 000 boîtes.
Exercice 2
Enonce
Exercice 2 — Probabilités (5 points)
Un laboratoire pharmaceutique teste un nouveau traitement contre une maladie. Lors des essais cliniques, 60% des patients ont reçu le traitement (groupe T) et 40% un placebo (groupe P). On sait que dans le groupe T, 75% des patients ont montré une amélioration, tandis que dans le groupe P, seulement 30% ont montré une amélioration.
Données: Probabilité d'être dans le groupe T: P(T)=0,6; Probabilité d'être dans le groupe P: P(P)=0,4; Probabilité d'amélioration sachant T: P_T(A)=0,75; Probabilité d'amélioration sachant P: P_P(A)=0,30
- Calculer la probabilité qu'un patient pris au hasard ait montré une amélioration.
- Sachant qu'un patient a montré une amélioration, quelle est la probabilité qu'il ait reçu le traitement?
- Les événements "être dans le groupe T" et "montrer une amélioration" sont-ils indépendants? Justifier.
- On choisit maintenant 3 patients au hasard de manière indépendante. Quelle est la probabilité qu'au moins un d'entre eux ait montré une amélioration?
- On considère un échantillon de 100 patients. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de patients ayant montré une amélioration. Quelle loi suit X? Donner ses paramètres. Calculer P(X ≥ 50) (on donnera une expression avec une somme, sans calcul numérique).
Methode
Pour résoudre cet exercice de probabilités, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, identifier clairement les événements et les probabilités données. Ensuite, pour la question 1, utiliser la formule des probabilités totales avec un système complet d'événements (ici les groupes T et P). Pour la question 2, appliquer la formule de Bayes (ou probabilité conditionnelle inverse). La question 3 sur l'indépendance nécessite de vérifier si P(A∩T) = P(A)×P(T). Pour la question 4, reconnaître un schéma de Bernoulli répété (3 tirages indépendants) et calculer la probabilité de l'événement complémentaire 'aucune amélioration'. Enfin, pour la question 5, identifier la loi binomiale avec ses paramètres n et p (p étant le résultat de la question 1). La probabilité P(X ≥ 50) s'exprime comme une somme de probabilités binomiales de 50 à 100. La clé est d'organiser les calculs de manière logique et de bien justifier chaque étape.
Points cles
- 1Formule des probabilités totales : Pour calculer P(A), probabilité d'amélioration, on utilise P(A) = P(T)×P_T(A) + P(P)×P_P(A). C'est la somme pondérée des probabilités d'amélioration dans chaque groupe.
- 2Formule de Bayes / Probabilité conditionnelle : Pour calculer P(T|A), on utilise P(T|A) = P(T∩A)/P(A) = [P(T)×P_T(A)] / P(A). C'est la probabilité inverse de savoir quel groupe a conduit à l'amélioration observée.
- 3Indépendance des événements : Deux événements E et F sont indépendants si P(E∩F) = P(E)×P(F). Il faut calculer P(T∩A) = P(T)×P_T(A) et le comparer à P(T)×P(A). Si égalité, indépendance ; sinon, dépendance.
- 4Schéma de Bernoulli et loi binomiale : Choisir n patients de manière indépendante revient à répéter n fois une épreuve de Bernoulli (succès = amélioration, échec = pas d'amélioration). La variable X comptant les succès suit une loi binomiale B(n,p).
- 5Probabilité 'au moins un' : Pour calculer P(au moins 1 succès) dans un schéma binomial, on utilise souvent l'événement complémentaire : P(au moins 1) = 1 - P(aucun) = 1 - (1-p)^n. C'est plus simple que de sommer les probabilités de 1, 2, ..., n succès.
Exercice 3
Enonce
Exercice 3 — Fonctions et intégrales (5 points)
Une entreprise produit et commercialise un composant électronique. Le coût marginal de production, exprimé en milliers d'euros par centaine de composants, est modélisé par la fonction Cm définie sur l'intervalle [1; 10] par : Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8, où x représente le nombre de centaines de composants produits.
Données: Cm(x) = 0,5x² - 4x + 8 sur [1; 10]
- Calculer Cm(2) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
- Étudier les variations de la fonction Cm sur [1; 10]. En déduire la valeur de x pour laquelle le coût marginal est minimal.
- On note CT la fonction coût total de production. Sachant que CT'(x) = Cm(x) et que les coûts fixes s'élèvent à 3 milliers d'euros, déterminer l'expression de CT(x).
- Calculer l'intégrale I = ∫ de 2 à 6 de Cm(x) dx. Interpréter la valeur obtenue en termes de coût de production.
Methode
Pour résoudre cet exercice sur les fonctions et intégrales, il faut suivre une démarche rigoureuse. D'abord, comprendre que le coût marginal représente le coût de production d'une unité supplémentaire. Pour la question 1, il s'agit d'un simple calcul de valeur avec interprétation concrète. Pour l'étude des variations (question 2), on dérive la fonction Cm, on étudie le signe de la dérivée sur l'intervalle donné, et on en déduit les variations et l'extremum. La question 3 fait appel à la notion de primitive : puisque CT' = Cm, CT est une primitive de Cm. La constante d'intégration est déterminée grâce aux coûts fixes. Enfin, pour l'intégrale (question 4), on calcule la primitive de Cm, puis on applique la formule de calcul intégral. L'interprétation économique est cruciale : l'intégrale du coût marginal entre deux quantités donne la variation du coût total entre ces deux niveaux de production.
Points cles
- 1Coût marginal : Le coût marginal Cm(x) est le coût de production de la x-ième centaine de composants. C'est aussi la dérivée du coût total CT'(x). Cette double interprétation est fondamentale.
- 2Étude de variations : Pour étudier les variations de Cm, on calcule sa dérivée Cm'(x) = x - 4. On résout Cm'(x) = 0 pour trouver x = 4. On étudie le signe de Cm' sur [1;10] : négatif avant 4, positif après. Ainsi, Cm est décroissante sur [1;4] puis croissante sur [4;10], avec un minimum en x=4.
- 3Primitive et coût total : Puisque CT'(x) = Cm(x), CT est une primitive de Cm. On trouve CT(x) = ∫(0.5x² - 4x + 8)dx = (0.5/3)x³ - 2x² + 8x + K, où K est la constante d'intégration. Les coûts fixes (coût quand x=0) sont donnés à 3, mais attention : notre fonction Cm est définie sur [1;10]. On utilise plutôt le fait que CT(0) représenterait les coûts fixes. On a CT(x) = (1/6)x³ - 2x² + 8x + 3.
- 4Calcul intégral : Pour calculer I = ∫₂⁶ Cm(x)dx, on utilise la primitive F(x) = (1/6)x³ - 2x² + 8x. Alors I = F(6) - F(2). Ce calcul donne la variation du coût total lorsque la production passe de 2 à 6 centaines de composants.
- 5Interprétation économique : La valeur de l'intégrale I représente l'augmentation du coût total (en milliers d'euros) lorsque la production augmente de 200 à 600 composants. C'est la somme des coûts marginaux pour chaque unité supplémentaire produite dans cet intervalle.
Exercice 4
Enonce
Exercice 4 — Géométrie dans l'espace (5 points)
Un architecte conçoit une structure métallique pour un abri de jardin. Cette structure est modélisée par un pavé droit ABCDEFGH. On considère le repère orthonormé (A; AB, AD, AE).
Données: AB = 4 m, AD = 3 m, AE = 2,5 m. Les points I, J et K sont définis par: I milieu de [AB], J milieu de [EH], K point de [GH] tel que GK = (1/4)GH.
- Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
- Montrer que le vecteur n(3; 4; -6) est normal au plan (IJK).
- Déterminer une équation cartésienne du plan (IJK).
- Calculer la distance du point C au plan (IJK).
- L'architecte souhaite vérifier si la poutre [CG] est parallèle au plan (IJK). Justifier votre réponse.
Methode
Pour résoudre cet exercice de géométrie dans l'espace, on commence par placer les points dans le repère orthonormé donné. On détermine d'abord les coordonnées de tous les points de base du pavé droit (A, B, C, D, E, F, G, H) en utilisant les longueurs des arêtes. Ensuite, on calcule les coordonnées des points I, J, K en appliquant les définitions données (milieu, fraction de segment). Pour montrer qu'un vecteur est normal à un plan, on vérifie qu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan en utilisant le produit scalaire. Une fois le vecteur normal connu, on détermine l'équation cartésienne du plan en utilisant la forme ax+by+cz+d=0 où (a,b,c) sont les coordonnées du vecteur normal. La distance d'un point à un plan se calcule avec la formule appropriée. Enfin, pour vérifier le parallélisme d'une droite à un plan, on montre que la direction de la droite est orthogonale au vecteur normal du plan.
Points cles
- 1Coordonnées dans un repère : Dans le repère (A; AB, AD, AE), les coordonnées se lisent directement : A(0,0,0), B(4,0,0) car AB=4 selon l'axe x, D(0,3,0) car AD=3 selon l'axe y, E(0,0,2.5) car AE=2.5 selon l'axe z. Les autres points s'en déduisent par translation.
- 2Milieu et point sur un segment : I milieu de [AB] donne I((xA+xB)/2, (yA+yB)/2, (zA+zB)/2). J milieu de [EH] nécessite les coordonnées de E et H. K sur [GH] avec GK = (1/4)GH : on utilise la relation vectorielle OK = OG + (1/4)GH.
- 3Vecteur normal à un plan : Un vecteur n est normal au plan (IJK) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple IJ et IK. On vérifie avec le produit scalaire : n·IJ = 0 et n·IK = 0.
- 4Équation cartésienne d'un plan : Avec un vecteur normal n(a,b,c) et un point M0(x0,y0,z0) du plan, l'équation est a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0. On développe pour obtenir la forme ax+by+cz+d=0.
- 5Distance point-plan et parallélisme : Distance d(C, plan) = |axC+byC+czC+d|/√(a²+b²+c²). Une droite (CG) est parallèle au plan (IJK) si son vecteur directeur CG est orthogonal au vecteur normal n du plan, c'est-à-dire si CG·n = 0.
