Analyse
Continuité et Théorème des Valeurs Intermédiaires
Une fonction f est continue en a si lim f(x) = f(a) quand x → a. Le TVI affirme qu'une fonction continue sur [a,b] prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b).
Introduction
La continuité est une propriété fondamentale des fonctions. Elle garantit que la courbe se trace « sans lever le crayon ». Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) est un outil puissant pour prouver l'existence de solutions d'équations, très utilisé au Bac.
Plan du cours
1. Continuité d'une fonction
- •Définition : f continue en a ⟺ lim f(x) = f(a) quand x → a
- •Toute fonction dérivable est continue (la réciproque est fausse : |x| en 0)
- •Fonctions continues de référence : polynômes, rationnelles (sur leur domaine), exp, ln, sin, cos
- •Opérations : somme, produit, quotient, composée de fonctions continues sont continues
2. Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
- •Énoncé : si f est continue sur [a,b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a,b] tel que f(c) = k
- •Cas particulier (corollaire de Bolzano) : si f(a) et f(b) sont de signes contraires, il existe c tel que f(c) = 0
- •Le TVI ne donne pas l'unicité ! Plusieurs solutions possibles
- •Si f est strictement monotone ET continue → l'équation f(x) = k a une UNIQUE solution (bijection)
3. Applications du TVI
- •Prouver qu'une équation a au moins une solution sur un intervalle
- •Méthode de dichotomie pour encadrer la solution
- •Avec la monotonie : prouver l'existence ET l'unicité d'une solution
- •Application aux suites : si uₙ₊₁ = f(uₙ) et f continue, la limite vérifie L = f(L)
Mathématiciens clés
Bernard Bolzano
Première démonstration rigoureuse du théorème des valeurs intermédiaires (1817)
Augustin-Louis Cauchy
Formulation et utilisation du TVI dans son Cours d'analyse (1821)
Karl Weierstrass
Théorème de Weierstrass : une fonction continue sur un fermé borné atteint ses bornes
Georg Cantor
Contribution à la formalisation de la continuité et de la topologie
Vocabulaire
Continuité : Propriété d'une fonction dont la courbe est « sans saut » : lim f(x) = f(a) en tout point
TVI : Théorème des Valeurs Intermédiaires : une fonction continue prend toutes les valeurs intermédiaires
Dichotomie : Méthode itérative qui coupe l'intervalle en deux à chaque étape pour encadrer une solution
Bijection : Fonction à la fois injective et surjective, qui admet donc une réciproque
Sujets type Bac
- 1Montrer, à l'aide du TVI, qu'une équation admet au moins une solution sur un intervalle
- 2En déduire l'unicité de la solution à l'aide de la monotonie
- 3Encadrer une solution par dichotomie à 10⁻² près
