Analyse
Convexité
Une fonction f est convexe sur un intervalle I si sa courbe est située en dessous de chacune de ses cordes, ou de manière équivalente si f'' ≥ 0.
Introduction
La convexité complète l'étude des fonctions au-delà des variations. Elle décrit la « courbure » du graphe et permet de localiser les points d'inflexion. Au Bac, elle s'étudie via la dérivée seconde et a des applications en optimisation.
Plan du cours
1. Définition et caractérisation
- •f convexe sur I : pour tout a, b ∈ I et t ∈ [0,1], f(ta + (1-t)b) ≤ tf(a) + (1-t)f(b)
- •Interprétation graphique : la courbe est sous ses cordes
- •f convexe ⟺ f' croissante ⟺ f'' ≥ 0
- •f concave ⟺ f' décroissante ⟺ f'' ≤ 0
2. Point d'inflexion
- •Point d'inflexion : point où la fonction change de convexité (convexe → concave ou inversement)
- •En un point d'inflexion : f'' s'annule et change de signe
- •La tangente au point d'inflexion traverse la courbe
- •Exemple : f(x) = x³ a un point d'inflexion en (0, 0)
3. Applications de la convexité
- •Position de la courbe par rapport à ses tangentes : f convexe ⟹ courbe au-dessus de toutes ses tangentes
- •Inégalité de Jensen : si f convexe, f(Σλᵢxᵢ) ≤ Σλᵢf(xᵢ)
- •Inégalité arithmético-géométrique comme cas particulier de Jensen
- •Optimisation : un minimum local d'une fonction convexe est global
Mathématiciens clés
Johan Jensen
Inégalité de Jensen pour les fonctions convexes
Charles Hermite
Inégalité de Hermite-Hadamard pour les fonctions convexes
Hermann Minkowski
Géométrie des corps convexes et inégalité de Minkowski
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty
Analyse convexe moderne et optimisation
Vocabulaire
Convexe : Fonction dont la courbe est sous ses cordes ; f'' ≥ 0
Concave : Fonction dont la courbe est au-dessus de ses cordes ; f'' ≤ 0
Point d'inflexion : Point où la fonction change de convexité ; f'' s'annule et change de signe
Dérivée seconde : Dérivée de la dérivée, f'', renseigne sur la convexité de f
Sujets type Bac
- 1Étudier la convexité d'une fonction à l'aide de sa dérivée seconde
- 2Déterminer les points d'inflexion et interpréter graphiquement
- 3Montrer une inégalité à l'aide de la convexité
