Analyse
Dérivation
La dérivée d'une fonction f en un point a est le nombre f'(a) = lim[(f(a+h) - f(a))/h] quand h → 0, représentant le taux de variation instantané.
Introduction
La dérivation est l'outil central de l'analyse pour étudier les variations d'une fonction. Elle permet de calculer des tangentes, de trouver des extremums et de résoudre des problèmes d'optimisation. C'est un passage obligé de tout sujet de Bac en maths.
Plan du cours
1. Nombre dérivé et tangente
- •Nombre dérivé f'(a) = lim[(f(a+h) - f(a))/h] quand h → 0
- •Interprétation géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en a
- •Équation de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a)
- •Approximation affine : f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) au voisinage de a
2. Dérivées des fonctions usuelles et opérations
- •Dérivées de référence : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x
- •Somme : (u + v)' = u' + v', Produit : (uv)' = u'v + uv', Quotient : (u/v)' = (u'v - uv')/v²
- •Fonction composée : (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x)), cas particulier (eᵘ)' = u' × eᵘ
- •Dérivée de la réciproque : si y = f⁻¹(x), alors (f⁻¹)'(x) = 1/f'(f⁻¹(x))
3. Applications de la dérivation
- •Sens de variation : f' > 0 ⟹ f croissante, f' < 0 ⟹ f décroissante
- •Extremums locaux : f'(a) = 0 et changement de signe de f'
- •Tableau de variations complet : signe de f', flèches, valeurs remarquables
- •Optimisation : recherche du maximum ou minimum d'une grandeur
Mathématiciens clés
Isaac Newton
Méthode des fluxions, calcul des dérivées pour la mécanique
Gottfried Wilhelm Leibniz
Notation dy/dx, développement indépendant du calcul différentiel
Joseph-Louis Lagrange
Notation f'(x) et théorème des accroissements finis
Pierre de Fermat
Méthode des tangentes et recherche des extremums (précurseur de la dérivation)
Vocabulaire
Nombre dérivé : Limite du taux de variation de f en a, noté f'(a)
Tangente : Droite qui « touche » la courbe en un point, de pente f'(a)
Extremum : Maximum ou minimum local d'une fonction
Taux de variation : Rapport [f(b) - f(a)]/(b - a), pente de la sécante entre a et b
Sujets type Bac
- 1Calculer la dérivée d'une fonction et dresser son tableau de variations
- 2Déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point
- 3Résoudre un problème d'optimisation à l'aide de la dérivation
