Analyse
Équations Différentielles
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y et qui fait intervenir y et ses dérivées y', y''...
Introduction
Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes : croissance de populations, circuits électriques, mécanique, radioactivité. Au Bac, on étudie principalement y' = ay (croissance/décroissance) et y' = ay + b.
Plan du cours
1. Équation y' = ay
- •Solutions : y(t) = Ceᵃᵗ où C est une constante déterminée par la condition initiale
- •Si a > 0 : croissance exponentielle, si a < 0 : décroissance exponentielle
- •Condition initiale y(0) = y₀ donne C = y₀, donc y(t) = y₀eᵃᵗ
- •Application : radioactivité N(t) = N₀e⁻ᵏᵗ, demi-vie t₁/₂ = ln(2)/λ
2. Équation y' = ay + b
- •Solution particulière constante : y₀ = -b/a
- •Solution générale : y(t) = Ceᵃᵗ - b/a
- •La constante C est fixée par la condition initiale
- •Si a < 0 : la solution converge vers -b/a (valeur d'équilibre)
3. Applications et modélisation
- •Modèle de Malthus : croissance d'une population N' = rN
- •Refroidissement de Newton : T'(t) = -k(T - Tₑₓₜ)
- •Circuit RC : charge/décharge d'un condensateur
- •Pharmacocinétique : élimination d'un médicament dans le sang
Mathématiciens clés
Isaac Newton
Premières équations différentielles en mécanique (F = ma → y'' = F/m)
Leonhard Euler
Méthode d'Euler pour l'approximation numérique des solutions
Joseph-Louis Lagrange
Méthode de variation de la constante pour les équations non homogènes
Thomas Robert Malthus
Modèle de croissance exponentielle des populations
Vocabulaire
Équation différentielle : Équation reliant une fonction inconnue y à ses dérivées
Condition initiale : Valeur y(t₀) = y₀ qui permet de déterminer l'unique solution
Solution générale : Famille de toutes les solutions, dépendant d'une constante C
Solution particulière : Solution obtenue pour une valeur précise de C (fixée par la condition initiale)
Sujets type Bac
- 1Résoudre y' = ay + b avec condition initiale et interpréter la solution
- 2Modéliser un problème concret par une équation différentielle
- 3Déterminer la limite d'une solution et interpréter la valeur d'équilibre
