Analyse
La Fonction Exponentielle
L'exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1, notée exp ou eˣ.
Introduction
La fonction exponentielle est omniprésente dans les sujets du Bac. Elle modélise les phénomènes de croissance et décroissance (radioactivité, populations, intérêts composés). Ses propriétés algébriques et analytiques en font un outil incontournable.
Plan du cours
1. Définition et propriétés fondamentales
- •Unique solution de y' = y avec y(0) = 1
- •Notation : exp(x) = eˣ où e = exp(1) ≈ 2,718
- •Propriété fondamentale : exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
- •Conséquences : exp(a - b) = exp(a)/exp(b), exp(-x) = 1/exp(x), exp(nx) = (exp(x))ⁿ
2. Étude analytique
- •Dérivée : (eˣ)' = eˣ, donc (eᵘ)' = u' × eᵘ
- •exp est strictement croissante sur ℝ
- •eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ (jamais nulle, jamais négative)
- •Limites : lim eˣ = +∞ quand x → +∞, lim eˣ = 0 quand x → -∞
3. Croissances comparées et applications
- •lim(eˣ/xⁿ) = +∞ quand x → +∞ : l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme
- •lim(xⁿ × e⁻ˣ) = 0 quand x → +∞
- •Résolution d'équations : eᶠ⁽ˣ⁾ = eᵍ⁽ˣ⁾ ⟺ f(x) = g(x)
- •Modélisation : N(t) = N₀ × eᵏᵗ (croissance/décroissance exponentielle)
Mathématiciens clés
Leonhard Euler
Introduction de la notation e et de la formule eⁱˣ = cos x + i sin x
John Napier (Neper)
Inventeur des logarithmes, précurseur du nombre e
Jacob Bernoulli
Découverte de e comme limite de (1 + 1/n)ⁿ via les intérêts composés
Joseph Fourier
Utilisation de l'exponentielle dans les équations de la chaleur
Vocabulaire
Exponentielle : Fonction eˣ, unique solution de f' = f et f(0) = 1
Nombre e : Constante d'Euler, e ≈ 2,71828, base du logarithme naturel
Croissance exponentielle : Croissance proportionnelle à la quantité : N'(t) = kN(t), solution N(t) = N₀eᵏᵗ
Décroissance radioactive : Modèle N(t) = N₀e⁻ᵏᵗ, demi-vie t₁/₂ = ln(2)/λ
Sujets type Bac
- 1Étudier une fonction du type f(x) = (ax + b)eˣ
- 2Résoudre l'équation eˣ = k et les inéquations associées
- 3Problème de modélisation avec croissance ou décroissance exponentielle
