Analyse
Fonctions Composées
La composée de deux fonctions f et g, notée f∘g, est la fonction définie par (f∘g)(x) = f(g(x)). On applique d'abord g puis f.
Introduction
La composition de fonctions est un outil essentiel pour étudier des fonctions complexes comme eˢⁱⁿˣ, ln(x²+1) ou √(2x-3). La dérivation des composées et l'étude de leurs variations sont des classiques du Bac.
Plan du cours
1. Définition et ensemble de définition
- •f∘g est définie en x si x est dans le domaine de g ET g(x) est dans le domaine de f
- •Attention : f∘g ≠ g∘f en général (la composition n'est pas commutative)
- •Exemples : si f(x) = eˣ et g(x) = x², alors (f∘g)(x) = eˣ² et (g∘f)(x) = (eˣ)² = e²ˣ
- •Domaine de f∘g : {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df}
2. Dérivée d'une composée
- •Règle de la chaîne : (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x))
- •Cas fréquents : (eᵘ)' = u'eᵘ, (ln u)' = u'/u, (uⁿ)' = nu'uⁿ⁻¹
- •(√u)' = u'/(2√u), (1/u)' = -u'/u²
- •Application : dériver f(x) = e²ˣ⁺¹ donne f'(x) = 2e²ˣ⁺¹
3. Variations d'une composée
- •Si f et g sont croissantes, f∘g est croissante
- •Si f et g sont décroissantes, f∘g est croissante
- •Si l'une est croissante et l'autre décroissante, f∘g est décroissante
- •Tableau récapitulatif : même sens → croissante, sens contraires → décroissante
Mathématiciens clés
Leonhard Euler
Notation fonctionnelle f(x) et concept de composition de fonctions
Gottfried Wilhelm Leibniz
Règle de la chaîne pour la dérivation des fonctions composées
Joseph-Louis Lagrange
Notation f' et systématisation de la dérivation des composées
Augustin-Louis Cauchy
Formalisation rigoureuse de la composition et de la continuité
Vocabulaire
Composée : f∘g : fonction obtenue en appliquant d'abord g puis f à un nombre x
Règle de la chaîne : Formule de dérivation : (f∘g)' = g' × (f'∘g)
Fonction intermédiaire : Dans eˢⁱⁿˣ, sin(x) est la fonction intermédiaire u = g(x)
Commutativité : Propriété non vérifiée par la composition : f∘g ≠ g∘f en général
Sujets type Bac
- 1Dériver une fonction composée du type f(x) = eᵍ⁽ˣ⁾ ou f(x) = ln(g(x))
- 2Étudier les variations d'une fonction composée à l'aide du tableau de signes
- 3Déterminer le domaine de définition d'une composée
