Analyse
Intégration
L'intégrale de a à b de f(x)dx représente l'aire algébrique entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.
Introduction
L'intégration est la réciproque de la dérivation. Elle permet de calculer des aires, des volumes, des moyennes et intervient dans de nombreux problèmes de modélisation. C'est un chapitre majeur du programme de Terminale, présent dans presque tous les sujets du Bac.
Plan du cours
1. Primitives
- •F est une primitive de f si F' = f sur un intervalle I
- •Si F₀ est une primitive de f, toutes les primitives sont F₀ + C (C constante)
- •Primitives usuelles : xⁿ → xⁿ⁺¹/(n+1), 1/x → ln|x|, eˣ → eˣ, cos x → sin x, sin x → -cos x
- •Primitive de u'eᵘ → eᵘ, de u'/u → ln|u|, de u'uⁿ → uⁿ⁺¹/(n+1)
2. Intégrale et calcul d'aires
- •Définition : ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) où F est une primitive de f
- •Si f ≥ 0 sur [a,b], l'intégrale donne l'aire sous la courbe
- •Si f change de signe : aire = ∫ₐᶜ f(x)dx - ∫ᶜᵇ f(x)dx (séparer les zones)
- •Aire entre deux courbes : ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx
3. Propriétés et valeur moyenne
- •Linéarité : ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g
- •Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f + ∫ᵇᶜ f = ∫ₐᶜ f
- •Si f ≥ 0 sur [a,b] alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 (positivité)
- •Valeur moyenne de f sur [a,b] : μ = (1/(b-a)) × ∫ₐᵇ f(x)dx
Mathématiciens clés
Isaac Newton
Théorème fondamental de l'analyse (lien dérivation-intégration)
Gottfried Wilhelm Leibniz
Notation ∫ et développement du calcul intégral
Bernhard Riemann
Formalisation de l'intégrale par les sommes de Riemann
Henri Lebesgue
Généralisation de l'intégrale (intégrale de Lebesgue)
Vocabulaire
Primitive : Fonction F telle que F' = f ; définie à une constante additive près
Intégrale : Nombre ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a), aire algébrique sous la courbe
Valeur moyenne : μ = (1/(b-a)) ∫ₐᵇ f(x)dx, hauteur du rectangle de même aire
Somme de Riemann : Approximation de l'intégrale par une somme de rectangles
Sujets type Bac
- 1Calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
- 2Déterminer l'aire entre deux courbes sur un intervalle donné
- 3Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
