Analyse
Limites de Fonctions
La limite d'une fonction f en un point a (ou en l'infini) décrit le comportement de f(x) lorsque x se rapproche de a (ou tend vers l'infini).
Introduction
L'étude des limites est fondamentale en analyse. Elle permet de déterminer le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition, d'identifier les asymptotes d'une courbe et constitue le socle théorique de la dérivation et de l'intégration.
Plan du cours
1. Limites en l'infini
- •Limite finie en +∞ ou -∞ : la courbe admet une asymptote horizontale y = L
- •Limite infinie en +∞ ou -∞ : la fonction diverge vers +∞ ou -∞
- •Comparaison des croissances : eˣ >> xⁿ >> ln(x) quand x → +∞
- •Théorème de croissance comparée : lim(xⁿ/eˣ) = 0 et lim(ln(x)/xⁿ) = 0 quand x → +∞
2. Limites en un point
- •Limite finie en a : lim f(x) = L quand x → a
- •Limite infinie en a : la courbe admet une asymptote verticale x = a
- •Limite à gauche et à droite : si elles diffèrent, la limite n'existe pas
- •Exemple classique : lim(1/x) = +∞ quand x → 0⁺ et -∞ quand x → 0⁻
3. Opérations sur les limites et formes indéterminées
- •Somme, produit, quotient de limites : règles opératoires classiques
- •Les 4 formes indéterminées : +∞ - ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0
- •Techniques de levée : factorisation, conjugaison, croissances comparées
- •Théorème des gendarmes (encadrement) pour prouver une limite
Mathématiciens clés
Augustin-Louis Cauchy
Formalisation rigoureuse de la notion de limite (définition ε-δ)
Karl Weierstrass
Définition moderne et rigoureuse de la limite avec les quantificateurs
Bernard Bolzano
Théorème de Bolzano (des valeurs intermédiaires) lié aux limites
Leonhard Euler
Contribution au calcul des limites et à la notation fonctionnelle
Vocabulaire
Asymptote horizontale : Droite y = L vers laquelle la courbe tend quand x → ±∞
Asymptote verticale : Droite x = a telle que f(x) → ±∞ quand x → a
Forme indéterminée : Expression dont la limite ne peut pas être déterminée directement par les règles opératoires
Croissances comparées : Hiérarchie de vitesse : l'exponentielle domine toute puissance, qui domine le logarithme
Sujets type Bac
- 1Déterminer les limites d'une fonction rationnelle aux bornes de son ensemble de définition
- 2Lever une forme indéterminée à l'aide des croissances comparées
- 3Étudier les asymptotes d'une courbe représentative
