Analyse
La Fonction Logarithme Népérien
Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x, défini sur ]0, +∞[.
Introduction
Le logarithme népérien est indissociable de l'exponentielle. Il transforme les produits en sommes, ce qui simplifie de nombreux calculs. Au Bac, il apparaît dans l'étude de fonctions, les équations et la modélisation de phénomènes logarithmiques.
Plan du cours
1. Définition et propriétés algébriques
- •ln(x) défini pour x > 0, fonction réciproque de exp : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x
- •Propriété fondamentale : ln(ab) = ln(a) + ln(b)
- •Conséquences : ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(1/a) = -ln(a), ln(aⁿ) = n × ln(a)
- •Valeurs remarquables : ln(1) = 0, ln(e) = 1
2. Étude analytique
- •Dérivée : (ln x)' = 1/x, donc (ln u)' = u'/u
- •ln est strictement croissante sur ]0, +∞[
- •ln(x) = 0 ⟺ x = 1, ln(x) > 0 ⟺ x > 1, ln(x) < 0 ⟺ 0 < x < 1
- •Limites : lim ln(x) = +∞ quand x → +∞, lim ln(x) = -∞ quand x → 0⁺
3. Croissances comparées et applications
- •lim(ln(x)/xⁿ) = 0 quand x → +∞ : le logarithme croît moins vite que toute puissance
- •lim(xⁿ × ln(x)) = 0 quand x → 0⁺ (pour n > 0)
- •Résolution d'équations logarithmiques : ln(f(x)) = ln(g(x)) ⟺ f(x) = g(x) > 0
- •Applications : échelle de Richter, décibels, pH, entropie
Mathématiciens clés
John Napier (Neper)
Invention du logarithme en 1614 pour simplifier les calculs astronomiques
Henry Briggs
Logarithme décimal (base 10) et premières tables de logarithmes
Leonhard Euler
Lien entre ln et e, développement en série de ln(1+x)
Pierre-Simon Laplace
Utilisation des logarithmes en probabilités et astronomie
Vocabulaire
Logarithme népérien : Fonction réciproque de exp, notée ln, définie sur ]0, +∞[
Logarithme décimal : log₁₀(x) = ln(x)/ln(10), utilisé en sciences (dB, pH, Richter)
Fonction réciproque : Si f(a) = b alors f⁻¹(b) = a ; les courbes de f et f⁻¹ sont symétriques par rapport à y = x
Équation logarithmique : Équation contenant ln(x), résolue en appliquant exp aux deux membres
Sujets type Bac
- 1Étudier une fonction du type f(x) = ln(x) + ax + b
- 2Résoudre des équations et inéquations logarithmiques
- 3Calculer une primitive contenant 1/x ou u'/u
