Analyse
Les Suites Numériques
Une suite numérique (uₙ) est une fonction de ℕ dans ℝ qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel uₙ.
Introduction
Les suites numériques sont un pilier du programme de Terminale. Elles permettent de modéliser des phénomènes discrets (populations, remboursements, algorithmes). L'étude de leur convergence et le raisonnement par récurrence sont des classiques du Bac.
Plan du cours
1. Suites arithmétiques et géométriques
- •Suite arithmétique : uₙ₊₁ = uₙ + r, terme général uₙ = u₀ + nr
- •Somme : S = (n+1)(u₀ + uₙ)/2 = (nombre de termes)(premier + dernier)/2
- •Suite géométrique : uₙ₊₁ = q × uₙ, terme général uₙ = u₀ × qⁿ
- •Somme : S = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹)/(1 - q) si q ≠ 1
2. Convergence et limites de suites
- •Suite croissante majorée → converge, suite décroissante minorée → converge
- •Limites de référence : qⁿ → 0 si |q| < 1, qⁿ → +∞ si q > 1
- •Théorème des suites adjacentes : si uₙ croissante, vₙ décroissante et vₙ - uₙ → 0, elles convergent vers la même limite
- •Si uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue et uₙ → L, alors L = f(L)
3. Raisonnement par récurrence
- •Structure : Initialisation (vérifier au rang 0 ou 1) + Hérédité (supposer au rang n, montrer au rang n+1)
- •Applications : montrer une formule explicite, un encadrement, une monotonie
- •Suite auxiliaire : transformer uₙ₊₁ = f(uₙ) en suite arithmétique ou géométrique
- •Algorithme : calculer les termes d'une suite, seuil (plus petit n tel que uₙ > M)
Mathématiciens clés
Leonardo Fibonacci
Suite de Fibonacci uₙ₊₂ = uₙ₊₁ + uₙ, modèle de croissance des lapins
Carl Friedrich Gauss
Somme des n premiers entiers : n(n+1)/2, suites arithmétiques
Augustin-Louis Cauchy
Critère de Cauchy pour la convergence des suites
Blaise Pascal
Triangle de Pascal et récurrence, fondements du raisonnement récursif
Vocabulaire
Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s'obtient en ajoutant une constante r (raison) au précédent
Suite géométrique : Suite dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par une constante q (raison)
Convergence : Propriété d'une suite dont les termes se rapprochent indéfiniment d'une limite L
Récurrence : Raisonnement en deux étapes (initialisation + hérédité) pour prouver une propriété pour tout n
Sujets type Bac
- 1Démontrer par récurrence qu'une suite est croissante et majorée
- 2Déterminer la limite d'une suite définie par récurrence uₙ₊₁ = f(uₙ)
- 3Modéliser un problème concret par une suite et calculer une somme
