Analyse
Trigonométrie
La trigonométrie étudie les fonctions sinus, cosinus et tangente, liées au cercle trigonométrique et aux angles orientés.
Introduction
La trigonométrie est un domaine transversal entre l'analyse et la géométrie. Au Bac, elle intervient dans l'étude de fonctions trigonométriques, la résolution d'équations et la modélisation de phénomènes périodiques (ondes, oscillations).
Plan du cours
1. Cercle trigonométrique et angles
- •Cercle de centre O et de rayon 1 ; un point M du cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ)
- •Conversion degrés/radians : π rad = 180°, donc 1 rad ≈ 57,3°
- •Angles remarquables : π/6 (30°), π/4 (45°), π/3 (60°), π/2 (90°)
- •Valeurs exactes : cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2
2. Fonctions sinus et cosinus
- •cos² x + sin² x = 1 (relation fondamentale)
- •Dérivées : (sin x)' = cos x et (cos x)' = -sin x
- •Périodicité : sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x
- •Parité : cos(-x) = cos x (paire), sin(-x) = -sin x (impaire)
3. Formules et équations trigonométriques
- •Formules d'addition : cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b, sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
- •Formules de duplication : cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1, sin(2a) = 2 sin a cos a
- •Résolution : cos x = cos a ⟺ x = a + 2kπ ou x = -a + 2kπ
- •Résolution : sin x = sin a ⟺ x = a + 2kπ ou x = π - a + 2kπ
Mathématiciens clés
Hipparque
Premières tables trigonométriques, fondateur de la trigonométrie
Al-Khwarizmi
Tables de sinus et tangentes, transmission du savoir trigonométrique
Leonhard Euler
Formule d'Euler eⁱˣ = cos x + i sin x, liant exponentielle et trigonométrie
Joseph Fourier
Décomposition de fonctions en séries de sinus et cosinus
Vocabulaire
Radian : Unité d'angle : 1 radian = angle interceptant un arc de longueur 1 sur le cercle unité
Cercle trigonométrique : Cercle de rayon 1 centré à l'origine, support des fonctions sin et cos
Période : Plus petit réel T > 0 tel que f(x + T) = f(x) ; T = 2π pour sin et cos
Déphasage : Décalage horizontal dans f(x) = A sin(ωx + φ), φ est la phase
Sujets type Bac
- 1Résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné
- 2Étudier une fonction du type f(x) = a cos(x) + b sin(x)
- 3Utiliser les formules de duplication pour simplifier une expression
