Géométrie
Aires et Volumes
Le calcul d'aires et de volumes concerne la mesure des surfaces planes et des solides de l'espace : prismes, pyramides, cylindres, cônes et sphères.
Introduction
Les formules d'aires et de volumes sont indispensables au Bac, tant en géométrie pure qu'en analyse (calcul intégral d'aires, solides de révolution). Les problèmes d'optimisation (maximiser un volume sous contrainte) sont des classiques.
Plan du cours
1. Aires des figures planes
- •Rectangle : A = L × l, Carré : A = c²
- •Triangle : A = (b × h)/2 = (1/2)ab sin C
- •Parallélogramme : A = b × h, Trapèze : A = (B + b) × h / 2
- •Disque : A = πR², Secteur angulaire : A = θR²/2 (θ en radians)
2. Volumes des solides
- •Pavé droit : V = L × l × h, Cube : V = a³
- •Prisme droit : V = Aire_base × h
- •Pyramide : V = (1/3) × Aire_base × h, Cône : V = (1/3)πR²h
- •Sphère : V = (4/3)πR³, Cylindre : V = πR²h
3. Optimisation et intégrales
- •Problème classique : maximiser le volume d'une boîte ouverte découpée dans un carton
- •Aire entre deux courbes : ∫|f(x) - g(x)|dx
- •Volume de révolution (hors programme strict mais utile) : V = π∫[f(x)]²dx
- •Rapport d'agrandissement : aire multipliée par k², volume par k³
Mathématiciens clés
Archimède
Calcul de l'aire du disque, du volume de la sphère et du cône
Bonaventura Cavalieri
Principe de Cavalieri : solides de même section ont même volume
Euclide
Formules de base des aires et propriétés des solides réguliers
Johannes Kepler
Calcul de volumes de solides de révolution (tonneaux)
Vocabulaire
Aire : Mesure de la surface d'une figure plane, en unités d'aire (m², cm²)
Volume : Mesure de l'espace occupé par un solide, en unités de volume (m³, cm³, L)
Solide de révolution : Solide obtenu en faisant tourner une figure plane autour d'un axe
Rapport d'agrandissement : Facteur k par lequel les longueurs sont multipliées ; les aires par k², les volumes par k³
Sujets type Bac
- 1Calculer le volume d'un solide composé (pyramide tronquée, prisme oblique)
- 2Résoudre un problème d'optimisation de volume sous contrainte
- 3Calculer une aire à l'aide du calcul intégral
