Géométrie
Géométrie Analytique
La géométrie analytique utilise un repère et des coordonnées pour traduire les problèmes géométriques en équations algébriques.
Introduction
La géométrie analytique, inventée par Descartes, est le pont entre algèbre et géométrie. Elle permet de traiter les problèmes de distances, d'angles, d'intersections et de lieux géométriques par le calcul. C'est la méthode la plus utilisée au Bac.
Plan du cours
1. Droites dans le plan
- •Équation réduite : y = mx + p (m pente, p ordonnée à l'origine)
- •Équation cartésienne : ax + by + c = 0, vecteur normal n⃗(a, b), vecteur directeur u⃗(-b, a)
- •Pente : m = (yB - yA)/(xB - xA) = tan α (α angle avec l'axe Ox)
- •Parallèles : même pente, Perpendiculaires : m₁ × m₂ = -1
2. Distances et positions
- •Distance entre deux points : AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)²]
- •Distance d'un point M₀(x₀, y₀) à la droite ax + by + c = 0 : d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²)
- •Intersection de deux droites : résoudre le système de leurs équations
- •Coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite
3. Courbes et lieux géométriques
- •Cercle : (x-a)² + (y-b)² = R²
- •Parabole : y = ax² + bx + c, sommet en x = -b/(2a)
- •Lieu géométrique : ensemble des points M(x,y) vérifiant une condition → trouver l'équation
- •Paramétrage : courbe décrite par x(t), y(t) quand t varie
Mathématiciens clés
René Descartes
La Géométrie (1637) : création des coordonnées et de la géométrie analytique
Pierre de Fermat
Développement parallèle de la géométrie analytique
Leonhard Euler
Systématisation des coordonnées et des courbes en géométrie analytique
August Ferdinand Möbius
Coordonnées barycentriques et homogènes
Vocabulaire
Repère orthonormé : Système d'axes perpendiculaires avec la même unité, permettant de repérer tout point par ses coordonnées
Pente : Coefficient directeur m d'une droite, mesure de son inclinaison
Équation cartésienne : Relation f(x, y) = 0 caractérisant une courbe du plan
Lieu géométrique : Ensemble des points vérifiant une condition géométrique donnée
Sujets type Bac
- 1Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points
- 2Calculer la distance d'un point à une droite
- 3Caractériser un lieu géométrique par une équation
