Géométrie

Barycentre

Le barycentre de n points pondérés (Aᵢ, αᵢ) est le point G tel que Σαᵢ GA⃗ᵢ = 0⃗, à condition que Σαᵢ ≠ 0.

Introduction

Le barycentre généralise le milieu (barycentre de coefficients égaux) et le centre de gravité. Il permet de résoudre élégamment des problèmes de lieux géométriques et de positions relatives. C'est un outil complémentaire aux coordonnées.

Plan du cours

1. Définition et existence

  • •Barycentre de (A, α) et (B, β) : point G tel que αGA⃗ + βGB⃗ = 0⃗
  • •Condition d'existence : α + β ≠ 0
  • •Position : G est sur [AB], avec AG/AB = β/(α + β)
  • •Cas particuliers : α = β → milieu de [AB] ; α = 2, β = 1 → G aux 2/3 depuis B

2. Propriétés et réduction

  • •Associativité : on peut regrouper les points en sous-systèmes
  • •Formule de réduction : pour tout point M, Σαᵢ MA⃗ᵢ = (Σαᵢ) MG⃗
  • •Coordonnées du barycentre : G((Σαᵢxᵢ)/(Σαᵢ), (Σαᵢyᵢ)/(Σαᵢ))
  • •Centre de gravité du triangle : barycentre des 3 sommets avec poids égaux, G = (A+B+C)/3

3. Lieux géométriques

  • •Ensemble des M tels que αMA² + βMB² = k → cercle ou point (selon k)
  • •Ensemble des M tels que MA/MB = constante → cercle d'Apollonius
  • •Le barycentre minimise Σαᵢ MG² (centre d'inertie)
  • •Application en physique : centre de masse d'un système de points

Mathématiciens clés

August Ferdinand Möbius

Introduction formelle du barycentre en 1827 dans le Calcul barycentrique

Archimède

Centre de gravité des figures planes et des solides

Apollonius de Perge

Cercles d'Apollonius et lieux géométriques liés aux rapports de distances

Leonhard Euler

Droite d'Euler passant par le barycentre, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit

Vocabulaire

Barycentre : Point d'équilibre d'un système de points pondérés : Σαᵢ GA⃗ᵢ = 0⃗
Centre de gravité : Barycentre des sommets d'un triangle avec poids égaux
Poids (coefficient) : Scalaire αᵢ associé à chaque point dans le système barycentrique
Cercle d'Apollonius : Lieu des points M tels que MA/MB = constante k ≠ 1

Sujets type Bac

  • 1Déterminer le barycentre d'un système de points pondérés
  • 2Caractériser un lieu géométrique à l'aide du barycentre
  • 3Utiliser la formule de réduction pour simplifier une expression vectorielle
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