Géométrie
Cercles et Sphères
Un cercle est l'ensemble des points du plan situés à une distance fixe R (rayon) d'un point fixe C (centre). Une sphère est l'analogue en 3D.
Introduction
Le cercle intervient dans de nombreux problèmes de géométrie plane et trigonométrie. En Terminale, son étude s'étend aux sphères dans l'espace. Les équations cartésiennes et les propriétés angulaires sont régulièrement exploitées au Bac.
Plan du cours
1. Équation du cercle et de la sphère
- •Cercle de centre C(a, b) et rayon R : (x - a)² + (y - b)² = R²
- •Forme développée : x² + y² + Dx + Ey + F = 0, centre (-D/2, -E/2), rayon √(D²/4 + E²/4 - F)
- •Sphère de centre C(a, b, c) et rayon R : (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²
- •Intersection plan-sphère : un cercle (si le plan coupe la sphère)
2. Propriétés du cercle
- •Angle inscrit et angle au centre : l'angle inscrit est la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc
- •Tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit (théorème de Thalès)
- •Tangente au cercle : perpendiculaire au rayon au point de contact
- •Puissance d'un point par rapport à un cercle : PA × PB = constante
3. Applications
- •Lieu géométrique : ensemble des points M tels que MA² + MB² = k → cercle ou point
- •Cercle trigonométrique : cercle de rayon 1, support des fonctions sin et cos
- •Périmètre : P = 2πR, Aire du disque : A = πR²
- •Volume de la sphère : V = (4/3)πR³, Aire de la sphère : S = 4πR²
Mathématiciens clés
Euclide
Propriétés fondamentales du cercle dans les Éléments
Apollonius de Perge
Cercles d'Apollonius et sections coniques
Archimède
Calcul de l'aire du disque et du volume de la sphère
Thalès de Milet
Angle inscrit dans un demi-cercle, propriétés du cercle
Vocabulaire
Rayon : Distance du centre à tout point du cercle ou de la sphère
Tangente : Droite qui touche le cercle en un unique point, perpendiculaire au rayon
Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés sont des cordes
Corde : Segment reliant deux points du cercle ; le diamètre est la plus grande corde
Sujets type Bac
- 1Déterminer l'équation d'un cercle passant par trois points
- 2Trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle
- 3Calculer la section d'une sphère par un plan
