Géométrie
Nombres Complexes en Géométrie
Les nombres complexes z = x + iy permettent d'associer à chaque point M(x, y) du plan un nombre complexe, transformant la géométrie en calcul algébrique.
Introduction
Les nombres complexes offrent un outil algébrique puissant pour la géométrie plane. Le module donne les distances, l'argument les angles, et les opérations (multiplication, division) correspondent à des transformations géométriques. C'est un chapitre majeur du Bac.
Plan du cours
1. Forme algébrique et forme trigonométrique
- •Forme algébrique : z = x + iy, avec x = Re(z) et y = Im(z)
- •Module : |z| = √(x² + y²), distance OM
- •Argument : arg(z) = θ tel que z = |z|(cos θ + i sin θ)
- •Forme exponentielle : z = |z|eⁱᶿ (notation d'Euler)
2. Opérations et interprétation géométrique
- •Addition z₁ + z₂ : translation (somme vectorielle)
- •Multiplication |z₁z₂| = |z₁|×|z₂| et arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
- •Multiplication par eⁱᶿ : rotation d'angle θ autour de l'origine
- •z̄ (conjugué) : symétrie par rapport à l'axe réel
3. Applications géométriques
- •Distance AB = |zB - zA|
- •Angle (AB⃗, AC⃗) = arg((zC - zA)/(zB - zA))
- •Points alignés ⟺ (zC - zA)/(zB - zA) est réel
- •Similitudes directes : z' = az + b avec a, b ∈ ℂ
Mathématiciens clés
Jean-Robert Argand
Représentation géométrique des complexes dans le plan (diagramme d'Argand)
Carl Friedrich Gauss
Plan de Gauss, théorème fondamental de l'algèbre (tout polynôme a une racine complexe)
Leonhard Euler
Formule eⁱᶿ = cos θ + i sin θ, liant exponentielle et trigonométrie
Abraham de Moivre
Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
Vocabulaire
Module : |z| = √(x² + y²), distance du point M à l'origine
Argument : Angle θ entre l'axe réel et le segment OM, noté arg(z)
Conjugué : z̄ = x - iy, symétrique de z par rapport à l'axe réel
Affixe : Nombre complexe z = x + iy associé au point M(x, y) du plan
Sujets type Bac
- 1Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant |z - a| = |z - b|
- 2Montrer que trois points forment un triangle rectangle isocèle à l'aide des complexes
- 3Caractériser une transformation géométrique par z' = f(z)
