Géométrie

Coniques

Les coniques sont les courbes obtenues par intersection d'un cône de révolution avec un plan : ellipse, parabole et hyperbole.

Introduction

Les coniques généralisent le cercle et la parabole. Bien que leur étude approfondie dépasse le programme strict du Bac, elles apparaissent dans les exercices de spécialité et les concours. Elles ont des applications majeures en physique (orbites planétaires).

Plan du cours

1. La parabole

  • •Définition : ensemble des points équidistants d'un point (foyer) et d'une droite (directrice)
  • •Équation réduite : y = x²/(4p), foyer F(0, p), directrice y = -p
  • •La parabole y = ax² + bx + c a pour sommet S(-b/(2a), -Δ/(4a))
  • •Application : trajectoire d'un projectile dans un champ de pesanteur uniforme

2. L'ellipse

  • •Définition : ensemble des points M tels que MF + MF' = 2a (constante)
  • •Équation réduite : x²/a² + y²/b² = 1 avec a > b > 0
  • •Foyers : F(c, 0) et F'(-c, 0) avec c² = a² - b²
  • •Excentricité : e = c/a < 1, le cercle est un cas particulier (e = 0)

3. L'hyperbole

  • •Définition : ensemble des points M tels que |MF - MF'| = 2a
  • •Équation réduite : x²/a² - y²/b² = 1
  • •Foyers : F(c, 0) et F'(-c, 0) avec c² = a² + b²
  • •Asymptotes : y = ±(b/a)x, excentricité e = c/a > 1

Mathématiciens clés

Apollonius de Perge

Traité sur les Coniques : noms et classification (ellipse, parabole, hyperbole)

Johannes Kepler

Les orbites planétaires sont des ellipses (première loi de Kepler)

Blaise Pascal

Théorème de Pascal sur les coniques (hexagramme mystique)

Pierre de Fermat

Étude des coniques par la géométrie analytique

Vocabulaire

Conique : Courbe intersection d'un cône avec un plan : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole
Foyer : Point fixe intervenant dans la définition de la conique (distance focale)
Directrice : Droite fixe utilisée dans la définition focus-directrice d'une conique
Excentricité : Paramètre e caractérisant la forme : e = 0 cercle, 0 < e < 1 ellipse, e = 1 parabole, e > 1 hyperbole

Sujets type Bac

  • 1Déterminer les éléments caractéristiques d'une conique (foyer, directrice, excentricité)
  • 2Reconnaître la nature d'une conique à partir de son équation
  • 3Résoudre un problème de trajectoire impliquant une conique
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