Géométrie
Produit Scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est le nombre réel u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(u⃗, v⃗) = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
Introduction
Le produit scalaire est un outil fondamental qui fait le lien entre algèbre et géométrie. Il permet de calculer des angles, des distances, de prouver des orthogonalités et d'écrire des équations de plans. C'est un incontournable du Bac.
Plan du cours
1. Définitions et propriétés
- •Définition géométrique : u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ où θ est l'angle entre u⃗ et v⃗
- •Définition analytique (2D) : u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂
- •Définition analytique (3D) : u⃗·v⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
- •Propriétés : bilinéaire, symétrique (u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗), u⃗·u⃗ = ‖u⃗‖²
2. Orthogonalité et applications
- •u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
- •Calcul d'un angle : cos θ = (u⃗·v⃗)/(‖u⃗‖ × ‖v⃗‖)
- •Projection orthogonale : proj(u⃗ sur v⃗) = (u⃗·v⃗/‖v⃗‖²) × v⃗
- •Distance d'un point A à un plan P : d = |n⃗·AM⃗|/‖n⃗‖ (M ∈ P)
3. Produit scalaire et équations
- •Équation de plan : n⃗·AM⃗ = 0 ⟺ ax + by + cz + d = 0
- •Équation de sphère : ‖OM⃗ - OC⃗‖² = R² via le produit scalaire
- •Formule d'Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bc × cos A (généralisation de Pythagore)
- •Formule de la médiane : MA² + MB² = 2MI² + AB²/2 (I milieu de [AB])
Mathématiciens clés
Hermann Grassmann
Formalisation du produit scalaire dans l'algèbre des extensions
William Rowan Hamilton
Quaternions et produit scalaire dans l'espace
Josiah Willard Gibbs
Notation moderne du produit scalaire (dot product)
Al-Kashi
Théorème généralisé de Pythagore (formule d'Al-Kashi / loi des cosinus)
Vocabulaire
Produit scalaire : Opération associant à deux vecteurs un nombre réel, mesurant leur « alignement »
Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul
Norme : ‖u⃗‖ = √(u⃗·u⃗), longueur du vecteur
Projection orthogonale : Image d'un point sur une droite ou un plan, perpendiculairement
Sujets type Bac
- 1Calculer un angle entre deux vecteurs ou deux droites à l'aide du produit scalaire
- 2Montrer que deux droites sont perpendiculaires
- 3Déterminer l'équation d'un plan connaissant un point et un vecteur normal
