Géométrie
Théorèmes de Thalès et Pythagore
Le théorème de Thalès concerne les proportionnalités dans des configurations de droites parallèles. Celui de Pythagore relie les côtés d'un triangle rectangle.
Introduction
Thalès et Pythagore sont les deux théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne. Bien que vus dès le collège, ils restent utilisés au lycée pour démontrer des parallélismes, calculer des longueurs et résoudre des problèmes complexes dans l'espace.
Plan du cours
1. Théorème de Thalès
- •Configuration : deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles
- •Énoncé : si (BC) // (B'C') alors AB/AB' = AC/AC' = BC/B'C'
- •Réciproque : si AB/AB' = AC/AC' et les points sont dans le bon ordre, alors (BC) // (B'C')
- •Application : calculer des longueurs inaccessibles, agrandissement/réduction
2. Théorème de Pythagore
- •Énoncé direct : dans un triangle rectangle en C, AB² = AC² + BC²
- •Réciproque : si AB² = AC² + BC², alors le triangle est rectangle en C
- •Contra posée : si AB² ≠ AC² + BC², le triangle n'est pas rectangle en C
- •Lien avec Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bc cos A → si A = 90°, cos A = 0 → Pythagore
3. Applications au Bac
- •Dans l'espace : distance entre deux points, diagonale d'un pavé droit
- •Avec les coordonnées : norme d'un vecteur ‖u⃗‖ = √(x² + y² + z²)
- •Démonstration de perpendicularité avec le produit scalaire
- •Résolution de problèmes d'optimisation de distances
Mathématiciens clés
Thalès de Milet
Théorème de Thalès et premiers raisonnements déductifs en géométrie
Pythagore de Samos
Relation entre les côtés d'un triangle rectangle
Euclide
Démonstration rigoureuse de ces théorèmes dans les Éléments
Liu Hui
Démonstration visuelle du théorème de Pythagore (mathématicien chinois, IIIe siècle)
Vocabulaire
Configuration de Thalès : Deux droites sécantes coupées par des parallèles, créant des segments proportionnels
Hypoténuse : Plus grand côté d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit
Triplet pythagoricien : Trois entiers (a, b, c) vérifiant a² + b² = c² (ex : 3, 4, 5)
Proportionnalité : Relation entre grandeurs de rapport constant, base du théorème de Thalès
Sujets type Bac
- 1Utiliser Thalès pour montrer un parallélisme ou calculer une longueur
- 2Appliquer Pythagore dans un solide de l'espace (pavé, pyramide)
- 3Combiner Thalès et Pythagore dans un problème de géométrie plane
