Géométrie
Transformations Géométriques
Une transformation géométrique est une application du plan (ou de l'espace) dans lui-même qui conserve certaines propriétés géométriques.
Introduction
Les transformations (translations, rotations, symétries, homothéties) sont des outils puissants pour résoudre des problèmes de géométrie. Elles permettent de passer d'une figure à une autre en préservant des propriétés comme les distances ou les angles.
Plan du cours
1. Isométries (conservent les distances)
- •Translation de vecteur u⃗ : M → M' avec MM'⃗ = u⃗
- •Rotation de centre O et d'angle θ : conserve les distances et les angles
- •Symétrie axiale : réflexion par rapport à une droite (conserve les distances, inverse l'orientation)
- •Symétrie centrale : symétrie par rapport à un point (rotation de 180°)
2. Homothétie et similitudes
- •Homothétie de centre O et de rapport k : M → M' avec OM'⃗ = k × OM⃗
- •k > 0 : même côté que O, k < 0 : côté opposé ; |k| > 1 agrandissement, |k| < 1 réduction
- •Les distances sont multipliées par |k|, les aires par k²
- •Similitude = isométrie ∘ homothétie : conserve les angles, multiplie les distances
3. Expressions analytiques
- •Translation : M'(x + a, y + b) si u⃗(a, b)
- •Symétrie axiale par rapport à Ox : M'(x, -y)
- •Rotation de 90° autour de O : M'(-y, x)
- •Homothétie de centre O et rapport k : M'(kx, ky)
Mathématiciens clés
Félix Klein
Programme d'Erlangen : classification des géométries par leurs groupes de transformations
Évariste Galois
Théorie des groupes, fondement algébrique des symétries
August Ferdinand Möbius
Transformations de Möbius et géométrie projective
Euclide
Axiomes de congruence, fondement des isométries
Vocabulaire
Isométrie : Transformation qui conserve les distances (translation, rotation, symétrie)
Homothétie : Transformation qui multiplie toutes les distances par un même rapport k
Similitude : Transformation qui conserve les angles et multiplie les distances par un rapport constant
Invariant : Point ou figure qui reste identique après application de la transformation
Sujets type Bac
- 1Déterminer l'image d'une figure par une transformation donnée
- 2Identifier la transformation qui envoie une figure sur une autre
- 3Utiliser une transformation pour démontrer une propriété géométrique
