Géométrie
Triangles et Relations Métriques
L'étude des triangles repose sur les relations métriques (Pythagore, Al-Kashi, formule des sinus) et les éléments remarquables (médiatrices, hauteurs, médianes).
Introduction
Le triangle est la figure de base de la géométrie. Les relations métriques dans le triangle (Pythagore, Al-Kashi, loi des sinus) sont des outils fondamentaux pour calculer longueurs et angles. Les droites remarquables ont des propriétés utilisées en démonstration.
Plan du cours
1. Relations métriques
- •Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, a² = b² + c² (a hypoténuse)
- •Formule d'Al-Kashi : a² = b² + c² - 2bc cos A (généralisation de Pythagore)
- •Loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R (R rayon du cercle circonscrit)
- •Aire du triangle : S = (1/2)ab sin C = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] (formule de Héron)
2. Droites remarquables
- •Médiatrices : perpendiculaires aux côtés en leur milieu → concourantes au centre du cercle circonscrit
- •Hauteurs : perpendiculaires aux côtés passant par le sommet opposé → concourantes à l'orthocentre H
- •Médianes : joignent un sommet au milieu du côté opposé → concourantes au centre de gravité G
- •Bissectrices : divisent les angles en deux → concourantes au centre du cercle inscrit
3. Trigonométrie dans le triangle
- •Dans un triangle rectangle : cos A = adjacent/hypoténuse, sin A = opposé/hypoténuse, tan A = opposé/adjacent
- •La somme des angles d'un triangle vaut π radians (180°)
- •Triangle isocèle : deux côtés égaux, deux angles égaux
- •Triangle équilatéral : trois côtés égaux, trois angles de 60° = π/3
Mathématiciens clés
Pythagore
Théorème de Pythagore sur les triangles rectangles
Al-Kashi
Généralisation de Pythagore à tout triangle (loi des cosinus)
Héron d'Alexandrie
Formule de Héron pour l'aire d'un triangle connaissant ses côtés
Leonhard Euler
Droite d'Euler reliant orthocentre, centre de gravité et centre du cercle circonscrit
Vocabulaire
Hypoténuse : Côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit
Orthocentre : Point de concours des trois hauteurs d'un triangle
Centre de gravité : Point de concours des médianes, situé aux 2/3 de chaque médiane depuis le sommet
Cercle circonscrit : Cercle passant par les trois sommets du triangle, centré sur le point de concours des médiatrices
Sujets type Bac
- 1Calculer une longueur ou un angle dans un triangle à l'aide d'Al-Kashi ou de la loi des sinus
- 2Montrer qu'un triangle est rectangle à l'aide de la réciproque de Pythagore
- 3Calculer l'aire d'un triangle par différentes méthodes
