Géométrie
Calcul Vectoriel
Le calcul vectoriel étudie les opérations sur les vecteurs : addition, multiplication par un scalaire, combinaisons linéaires et relations de colinéarité.
Introduction
Les vecteurs sont l'outil de base de la géométrie analytique. Ils permettent de traduire les problèmes géométriques en calculs algébriques : alignement, parallélisme, décomposition de forces. La maîtrise du calcul vectoriel est essentielle au Bac.
Plan du cours
1. Vecteurs et opérations
- •Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme
- •Addition : u⃗ + v⃗ (règle du parallélogramme), relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
- •Multiplication par un scalaire : λu⃗, même direction, sens selon le signe de λ
- •Vecteur nul : 0⃗, opposé : -u⃗
2. Colinéarité et coplanarité
- •Deux vecteurs colinéaires : u⃗ = λv⃗ ⟺ x₁y₂ - x₂y₁ = 0 (déterminant nul)
- •Application : A, B, C alignés ⟺ AB⃗ et AC⃗ colinéaires
- •Trois vecteurs coplanaires : l'un est combinaison linéaire des deux autres
- •Décomposition d'un vecteur dans une base (u⃗, v⃗) ou (u⃗, v⃗, w⃗)
3. Applications en géométrie
- •Parallélisme de droites : même vecteur directeur (colinéaires)
- •Milieu, centre de gravité : M = (A+B)/2, G = (A+B+C)/3
- •Barycentre : point G tel que Σαᵢ GA⃗ᵢ = 0⃗
- •Paramétrage d'une droite, d'un plan par des vecteurs directeurs
Mathématiciens clés
Gaspard-Gustave de Coriolis
Formalisation des vecteurs en mécanique
Hermann Grassmann
Algèbre des vecteurs, espaces vectoriels abstraits
Josiah Willard Gibbs
Analyse vectorielle moderne, notation standard
Oliver Heaviside
Simplification de la notation vectorielle de Maxwell
Vocabulaire
Vecteur : Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une norme
Colinéarité : Deux vecteurs de même direction (l'un est multiple de l'autre)
Combinaison linéaire : Expression αu⃗ + βv⃗ + γw⃗, mélange pondéré de vecteurs
Base : Famille de vecteurs permettant de décomposer tout vecteur de façon unique
Sujets type Bac
- 1Montrer que trois points sont alignés à l'aide de vecteurs
- 2Décomposer un vecteur dans une base donnée
- 3Déterminer les coordonnées du barycentre d'un système pondéré
