Probabilités
Arbres Pondérés
Un arbre pondéré est une représentation graphique d'une expérience aléatoire à plusieurs étapes, où chaque branche porte la probabilité (conditionnelle) de l'événement correspondant.
Introduction
L'arbre pondéré est l'outil de base pour résoudre les problèmes de probabilités à plusieurs étapes. Il permet de visualiser les probabilités conditionnelles, d'appliquer la formule des probabilités totales et de calculer toute probabilité par lecture directe.
Plan du cours
1. Construction d'un arbre pondéré
- •Chaque nœud représente une étape de l'expérience aléatoire
- •Les branches issues d'un nœud portent les probabilités conditionnelles
- •La somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1
- •Les feuilles (extrémités) représentent les issues complètes
2. Règles de calcul
- •Règle du produit : P(chemin) = produit des probabilités le long du chemin
- •Exemple : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) se lit sur le chemin A puis B
- •Formule des probabilités totales : P(B) = somme des P(chemin menant à B)
- •Chaque feuille a une probabilité = produit des branches du chemin
3. Arbres et formule de Bayes
- •L'arbre se lit naturellement dans le sens « causes → conséquences »
- •Bayes inverse le sens : « sachant la conséquence, quelle cause ? »
- •P(A|B) = P(chemin A→B) / P(B) = [P(A) × P(B|A)] / P(B)
- •Astuce : pour inverser, calculer d'abord P(B) par les probabilités totales
Mathématiciens clés
Thomas Bayes
Formule de Bayes, inversant le sens des probabilités conditionnelles
Pierre-Simon Laplace
Systématisation du calcul par arbres et probabilités composées
Blaise Pascal
Premiers raisonnements sur les probabilités composées
Christiaan Huygens
Premier traité formel sur les probabilités et les jeux de hasard
Vocabulaire
Arbre pondéré : Diagramme en arbre où chaque branche porte une probabilité (conditionnelle)
Chemin : Suite de branches de la racine à une feuille, représentant une issue complète
Nœud : Point de bifurcation dans l'arbre, correspondant à une étape
Probabilité composée : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A), produit le long d'un chemin
Sujets type Bac
- 1Construire un arbre pondéré à partir d'un énoncé et calculer des probabilités
- 2Appliquer la formule des probabilités totales à l'aide d'un arbre
- 3Utiliser un arbre pour appliquer la formule de Bayes
