Probabilités
Convergence en Loi et Théorème Central Limite
Le théorème central limite (TCL) affirme que la moyenne de n variables aléatoires i.i.d. converge en loi vers une loi normale quand n → ∞, quel que soit la loi initiale.
Introduction
Le théorème central limite est le résultat le plus profond des probabilités. Il explique pourquoi la loi normale apparaît partout dans la nature : toute grandeur résultant de la somme de nombreux petits effets indépendants suit approximativement une loi normale.
Plan du cours
1. Loi des grands nombres
- •X₁, X₂, ..., Xₙ variables aléatoires i.i.d. d'espérance μ et de variance σ²
- •Moyenne empirique : X̄ₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n
- •Loi faible des grands nombres : X̄ₙ converge en probabilité vers μ quand n → ∞
- •Interprétation : plus l'échantillon est grand, plus la moyenne observée est proche de μ
2. Théorème central limite
- •Énoncé : Zₙ = (X̄ₙ - μ)/(σ/√n) converge en loi vers N(0, 1) quand n → ∞
- •En pratique : X̄ₙ ≈ N(μ, σ²/n) pour n assez grand (n ≥ 30 en règle générale)
- •La somme Sₙ = X₁ + ... + Xₙ ≈ N(nμ, nσ²)
- •Application : approximation de B(n, p) par N(np, np(1-p)) pour n grand
3. Applications
- •Intervalles de confiance : X̄ₙ ± 1,96 × σ/√n (IC à 95%)
- •Tests d'hypothèses : comparer une moyenne observée à une valeur théorique
- •Sondages : marge d'erreur ≈ 1/√n pour une proportion
- •Contrôle qualité : détecter un écart de production par rapport à la norme
Mathématiciens clés
Pierre-Simon Laplace
Première version du théorème central limite (1812)
Aleksandr Liapounov
Démonstration rigoureuse du TCL sous conditions générales (1901)
Pafnouti Tchebychev
Inégalité de Tchebychev et loi des grands nombres
Jacob Bernoulli
Première loi des grands nombres (loi faible, 1713)
Vocabulaire
Convergence en loi : La loi de Xₙ se rapproche d'une loi limite quand n → ∞
i.i.d. : Indépendantes et identiquement distribuées : même loi, mutuellement indépendantes
Théorème central limite : La somme normalisée de n v.a. i.i.d. tend vers N(0, 1) quand n → ∞
Loi des grands nombres : La moyenne empirique converge vers l'espérance quand n → ∞
Sujets type Bac
- 1Utiliser le TCL pour approcher P(a ≤ X̄ₙ ≤ b) par une loi normale
- 2Construire un intervalle de confiance pour une moyenne
- 3Déterminer la taille d'échantillon nécessaire pour une précision donnée
