Probabilités
Couples de Variables Aléatoires
Un couple (X, Y) de variables aléatoires est décrit par sa loi conjointe P(X = xᵢ, Y = yⱼ), dont on déduit les lois marginales et les propriétés d'indépendance.
Introduction
L'étude des couples de variables aléatoires permet d'analyser les liens entre deux grandeurs aléatoires. La notion clé est l'indépendance : deux variables sont-elles liées ou non ? Les propriétés de la somme et de la covariance sont des outils fondamentaux.
Plan du cours
1. Loi conjointe et lois marginales
- •Loi conjointe : P(X = xᵢ, Y = yⱼ) pour chaque couple (xᵢ, yⱼ)
- •Tableau à double entrée : chaque case contient P(X = xᵢ, Y = yⱼ)
- •Loi marginale de X : P(X = xᵢ) = Σⱼ P(X = xᵢ, Y = yⱼ) (somme sur la ligne)
- •Loi marginale de Y : P(Y = yⱼ) = Σᵢ P(X = xᵢ, Y = yⱼ) (somme sur la colonne)
2. Indépendance de variables aléatoires
- •X et Y indépendantes ⟺ P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ) × P(Y = yⱼ) pour tout (i, j)
- •Test pratique : vérifier que chaque case du tableau = produit des marginales
- •Si X et Y indépendantes : E(XY) = E(X) × E(Y)
- •Si X et Y indépendantes : V(X + Y) = V(X) + V(Y)
3. Covariance et somme
- •Covariance : Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
- •Si X et Y indépendantes → Cov(X, Y) = 0 (la réciproque est fausse !)
- •E(X + Y) = E(X) + E(Y) (toujours vrai, avec ou sans indépendance)
- •V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X, Y)
Mathématiciens clés
Karl Pearson
Coefficient de corrélation et étude des relations entre variables
Francis Galton
Régression vers la moyenne, corrélation entre variables
Andreï Kolmogorov
Formalisation de l'indépendance et de la théorie des probabilités
Pafnouti Tchebychev
Inégalité de Tchebychev, loi des grands nombres
Vocabulaire
Loi conjointe : Distribution de probabilité du couple (X, Y), tableau des P(X = xᵢ, Y = yⱼ)
Loi marginale : Loi de X (ou Y) seule, obtenue en sommant sur l'autre variable
Covariance : Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y), mesure le lien linéaire entre X et Y
Corrélation : ρ = Cov(X,Y)/(σ(X)σ(Y)), covariance normalisée entre -1 et 1
Sujets type Bac
- 1Construire le tableau de loi conjointe et déterminer les lois marginales
- 2Tester l'indépendance de deux variables aléatoires
- 3Calculer E(X + Y) et V(X + Y) en utilisant la covariance
