Probabilités
Indépendance d'Événements
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Introduction
L'indépendance est une notion centrale en probabilités. Elle signifie que deux événements n'ont aucune influence l'un sur l'autre. C'est la condition nécessaire pour multiplier les probabilités directement. Ne pas confondre avec l'incompatibilité !
Plan du cours
1. Définition et caractérisation
- •A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- •Équivalent : P(A|B) = P(A) (savoir B ne change pas la proba de A)
- •Équivalent : P(B|A) = P(B) (savoir A ne change pas la proba de B)
- •Attention : indépendance ≠ incompatibilité (A ∩ B = ∅ → dépendants si P(A), P(B) > 0 !)
2. Propriétés de l'indépendance
- •Si A et B indépendants, alors A et B̄ sont aussi indépendants
- •De même Ā et B, et Ā et B̄ sont indépendants
- •Indépendance mutuelle de n événements : P(A₁ ∩ ... ∩ Aₙ) = P(A₁) × ... × P(Aₙ)
- •L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance mutuelle
3. Applications
- •Schéma de Bernoulli : les épreuves sont supposées indépendantes
- •Fiabilité d'un système : P(panne système) = produit des P(panne composant) si composants indépendants
- •Test d'indépendance : vérifier si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) dans un tableau
- •Indépendance de variables aléatoires : P(X = xᵢ, Y = yⱼ) = P(X = xᵢ) × P(Y = yⱼ) pour tout (i, j)
Mathématiciens clés
Andreï Kolmogorov
Définition axiomatique de l'indépendance en probabilités (1933)
Émile Borel
Loi forte des grands nombres et indépendance des événements
Paul Lévy
Contribution à la théorie des sommes de variables indépendantes
Jacob Bernoulli
Épreuves indépendantes et schéma de Bernoulli
Vocabulaire
Indépendance : Deux événements sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Incompatibilité : Deux événements sont incompatibles si A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas se réaliser ensemble)
Indépendance mutuelle : N événements sont mutuellement indépendants si toute intersection partielle se factorise
Système série/parallèle : En série : le système tombe en panne si un composant tombe ; en parallèle : il faut que tous tombent
Sujets type Bac
- 1Montrer que deux événements sont (ou ne sont pas) indépendants
- 2Calculer la probabilité d'un événement en utilisant l'indépendance
- 3Résoudre un problème de fiabilité avec des composants indépendants
