Probabilités
Intervalle de Fluctuation et Estimation
L'intervalle de fluctuation contient les fréquences observées « normales » pour n épreuves. L'intervalle de confiance estime un paramètre inconnu à partir d'un échantillon.
Introduction
La statistique inférentielle utilise les probabilités pour tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon. L'intervalle de fluctuation sert à tester (la fréquence observée est-elle compatible avec p ?), l'intervalle de confiance à estimer p.
Plan du cours
1. Intervalle de fluctuation
- •Contexte : on connaît p et on observe une fréquence f sur un échantillon de taille n
- •Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% : [p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)]
- •Condition d'utilisation : n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1-p) ≥ 5
- •Décision : si f ∉ intervalle → on rejette l'hypothèse p au seuil 5%
2. Intervalle de confiance
- •Contexte : on observe une fréquence f et on veut estimer p (inconnu)
- •Intervalle de confiance à 95% : [f - 1/√n ; f + 1/√n] (formule simplifiée)
- •Version précise : [f - 1,96√(f(1-f)/n) ; f + 1,96√(f(1-f)/n)]
- •Interprétation : on a 95% de confiance que p appartient à cet intervalle
3. Prise de décision et tests
- •Hypothèse nulle H₀ : p = p₀ (valeur supposée)
- •On calcule l'intervalle de fluctuation sous H₀
- •Si la fréquence observée tombe hors de l'intervalle → on rejette H₀
- •Risque de première espèce α = 5% : probabilité de rejeter H₀ alors qu'elle est vraie
Mathématiciens clés
Jerzy Neyman
Théorie des intervalles de confiance (1937)
Egon Pearson
Théorie des tests statistiques avec Neyman
Ronald Fisher
Tests de significativité, méthode du maximum de vraisemblance
Pierre-Simon Laplace
Théorème central limite, base de l'approximation normale
Vocabulaire
Intervalle de fluctuation : Intervalle dans lequel la fréquence observée devrait se trouver si p est la vraie probabilité
Intervalle de confiance : Intervalle construit à partir de l'échantillon et contenant p avec un niveau de confiance donné
Seuil de confiance : Probabilité (souvent 95%) que l'intervalle contienne la vraie valeur du paramètre
Risque α : Probabilité de rejeter H₀ à tort (erreur de première espèce), souvent 5%
Sujets type Bac
- 1Construire un intervalle de fluctuation et décider si une fréquence observée est compatible avec p₀
- 2Déterminer un intervalle de confiance à 95% pour une proportion
- 3Déterminer la taille minimale d'échantillon pour une précision donnée
