Probabilités
Loi Binomiale
La loi binomiale B(n, p) modélise le nombre de succès lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès p.
Introduction
La loi binomiale est la loi discrète la plus importante du programme de Terminale. Elle intervient dès qu'on répète une même expérience aléatoire à deux issues (succès/échec) de manière indépendante. C'est un classique incontournable du Bac.
Plan du cours
1. Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- •Épreuve de Bernoulli : deux issues possibles, succès (probabilité p) et échec (probabilité q = 1 - p)
- •Schéma de Bernoulli : répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes
- •X ~ B(n, p) : X compte le nombre de succès parmi les n épreuves
- •P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ pour k = 0, 1, ..., n
2. Espérance, variance et écart-type
- •Espérance : E(X) = np (nombre moyen de succès)
- •Variance : V(X) = np(1-p) = npq
- •Écart-type : σ(X) = √(npq)
- •Exemple : si n = 100 et p = 0,3 alors E(X) = 30 et σ ≈ 4,58
3. Utilisation de la calculatrice et approximations
- •Calculatrice : binomPdf(n, p, k) pour P(X = k), binomCdf(n, p, k) pour P(X ≤ k)
- •P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)
- •Pour n grand et p petit : approximation par la loi de Poisson B(n,p) ≈ P(np)
- •Pour n grand : approximation par la loi normale B(n,p) ≈ N(np, npq)
Mathématiciens clés
Jacob Bernoulli
Introduction de l'épreuve de Bernoulli et de la loi binomiale (Ars Conjectandi, 1713)
Abraham de Moivre
Approximation normale de la loi binomiale (théorème de Moivre-Laplace)
Blaise Pascal
Triangle de Pascal et coefficients binomiaux C(n,k)
Pierre-Simon Laplace
Développement de l'approximation normale et loi des grands nombres
Vocabulaire
Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : succès (p) et échec (1-p)
Coefficient binomial : C(n,k) = n!/(k!(n-k)!) : nombre de façons de choisir k éléments parmi n
Espérance : Valeur moyenne théorique E(X) = np pour une loi binomiale
Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Sujets type Bac
- 1Reconnaître une situation modélisée par une loi binomiale et calculer P(X = k)
- 2Calculer E(X) et σ(X) et interpréter dans le contexte
- 3Déterminer le plus petit n tel que P(X ≥ 1) ≥ 0,95
