Probabilités
Loi Exponentielle
La loi exponentielle de paramètre λ > 0 modélise la durée de vie sans vieillissement (propriété d'absence de mémoire) avec la densité f(t) = λe⁻ᵏᵗ pour t ≥ 0.
Introduction
La loi exponentielle est la loi continue des durées d'attente sans mémoire. Elle modélise la durée de vie d'un composant électronique, le temps entre deux appels dans un centre d'appel, ou la désintégration radioactive. Sa propriété d'absence de mémoire est caractéristique.
Plan du cours
1. Définition et propriétés
- •X ~ Exp(λ) : densité f(t) = λe⁻ᵏᵗ pour t ≥ 0, f(t) = 0 pour t < 0
- •Fonction de répartition : F(t) = P(X ≤ t) = 1 - e⁻ᵏᵗ pour t ≥ 0
- •P(X > t) = e⁻ᵏᵗ (probabilité de survie)
- •P(a ≤ X ≤ b) = e⁻ᵏᵃ - e⁻ᵏᵇ
2. Espérance et absence de mémoire
- •Espérance : E(X) = 1/λ (durée de vie moyenne)
- •Variance : V(X) = 1/λ², Écart-type : σ = 1/λ
- •Propriété d'absence de mémoire : P(X > t + s | X > t) = P(X > s)
- •Interprétation : un composant qui a déjà fonctionné t heures a la même probabilité de durer encore s heures qu'un composant neuf
3. Applications
- •Durée de vie d'un composant électronique (fiabilité)
- •Temps d'attente entre deux événements d'un processus de Poisson
- •Demi-vie : t₁/₂ tel que P(X > t₁/₂) = 1/2, soit t₁/₂ = ln(2)/λ
- •Lien avec la loi géométrique : la loi exponentielle est la version continue de la loi géométrique
Mathématiciens clés
Siméon Denis Poisson
Processus de Poisson et lien avec la loi exponentielle
Agner Krarup Erlang
Application de la loi exponentielle aux files d'attente téléphoniques
Waloddi Weibull
Généralisation de la loi exponentielle (loi de Weibull) en fiabilité
Andreï Markov
Propriété de Markov (absence de mémoire) et processus stochastiques
Vocabulaire
Loi exponentielle : Loi continue de densité λe⁻ᵏᵗ, modélisant les durées sans vieillissement
Absence de mémoire : P(X > t+s | X > t) = P(X > s) : le passé n'influence pas l'avenir
Demi-vie : Temps t₁/₂ = ln(2)/λ au bout duquel la probabilité de survie est 1/2
Taux de panne : Paramètre λ : nombre moyen de pannes par unité de temps
Sujets type Bac
- 1Calculer P(X > t) et P(a ≤ X ≤ b) pour une loi exponentielle
- 2Déterminer λ connaissant l'espérance ou une probabilité
- 3Utiliser la propriété d'absence de mémoire dans un problème de fiabilité
