Probabilités

Loi Normale

La loi normale N(μ, σ²) est une loi continue de densité f(x) = (1/(σ√(2π))) × exp(-(x-μ)²/(2σ²)), en forme de courbe en cloche.

Introduction

La loi normale est LA loi fondamentale des probabilités et de la statistique. Elle modélise de nombreux phénomènes naturels (tailles, erreurs de mesure) et apparaît comme limite de la loi binomiale. Sa courbe en cloche est universellement reconnaissable.

Plan du cours

1. Loi normale centrée réduite N(0, 1)

  • •Z suit N(0, 1) : espérance μ = 0, écart-type σ = 1
  • •Courbe de Gauss : symétrique par rapport à 0, en forme de cloche
  • •P(-1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0,68, P(-2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 0,95, P(-3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 0,997
  • •Si X ~ N(μ, σ²), alors Z = (X - μ)/σ ~ N(0, 1) (centrage-réduction)

2. Loi normale N(μ, σ²) générale

  • •Espérance E(X) = μ (centre de symétrie de la courbe)
  • •Écart-type σ(X) = σ (mesure l'étalement)
  • •Règle des 68-95-99,7 : P(μ-σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,68, etc.
  • •Plus σ est grand, plus la courbe est étalée et aplatie

3. Calculs et applications

  • •Calculer P(a ≤ X ≤ b) avec la calculatrice : normalCdf(a, b, μ, σ)
  • •Quantile uα : valeur telle que P(Z ≤ uα) = α ; u₀.₉₇₅ = 1,96
  • •Intervalle de confiance à 95% : [X̄ - 1,96σ/√n, X̄ + 1,96σ/√n]
  • •Approximation de B(n,p) par N(np, np(1-p)) quand n ≥ 30 et np ≥ 5

Mathématiciens clés

Carl Friedrich Gauss

Courbe de Gauss, application aux erreurs de mesure

Abraham de Moivre

Première apparition de la loi normale comme limite de la binomiale

Pierre-Simon Laplace

Théorème central limite et propriétés de la loi normale

Adolphe Quetelet

Application de la loi normale aux sciences sociales (l'homme moyen)

Vocabulaire

Loi normale : Loi continue de densité en cloche, notée N(μ, σ²), paramètre par sa moyenne et sa variance
Centrage-réduction : Transformation Z = (X - μ)/σ ramenant X ~ N(μ, σ²) à Z ~ N(0, 1)
Quantile : Valeur uα telle que P(Z ≤ uα) = α ; u₀.₉₅ ≈ 1,645, u₀.₉₇₅ ≈ 1,96
Courbe en cloche : Forme caractéristique de la densité de la loi normale, symétrique autour de μ

Sujets type Bac

  • 1Calculer P(a ≤ X ≤ b) pour X suivant une loi normale
  • 2Déterminer un seuil k tel que P(X ≤ k) = 0,95
  • 3Utiliser la loi normale pour approcher une loi binomiale
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