Probabilités
Loi Uniforme Continue
La loi uniforme sur [a, b] modélise un tirage au hasard d'un nombre réel dans l'intervalle [a, b], avec une densité constante f(x) = 1/(b-a).
Introduction
La loi uniforme est la plus simple des lois continues. Elle modélise les situations où « tous les instants sont équiprobables » : temps d'attente d'un bus qui passe toutes les 10 minutes, choix aléatoire d'un point sur un segment.
Plan du cours
1. Définition et densité
- •X suit la loi uniforme sur [a, b] : X ~ U([a, b])
- •Densité : f(x) = 1/(b-a) si x ∈ [a, b], f(x) = 0 sinon
- •Le graphe de la densité est un rectangle de base (b-a) et de hauteur 1/(b-a)
- •L'aire sous la densité vaut 1 (condition de normalisation)
2. Espérance, variance et calculs
- •Espérance : E(X) = (a + b)/2 (milieu de l'intervalle)
- •Variance : V(X) = (b - a)²/12
- •Écart-type : σ(X) = (b - a)/(2√3)
- •P(c ≤ X ≤ d) = (d - c)/(b - a) pour [c, d] ⊂ [a, b]
3. Applications
- •Temps d'attente : bus passant toutes les T minutes, attente X ~ U([0, T])
- •Arrondi : erreur d'arrondi suit approximativement une loi uniforme
- •Simulation : la fonction random() des langages informatiques génère U([0, 1])
- •Lien avec les probabilités géométriques : P = longueur favorable / longueur totale
Mathématiciens clés
Pierre-Simon Laplace
Principe d'indifférence : en l'absence d'information, tous les résultats sont équiprobables
Georges-Louis Leclerc de Buffon
Problème de l'aiguille de Buffon, loi uniforme des angles
Andreï Kolmogorov
Axiomatisation incluant les lois continues comme la loi uniforme
John von Neumann
Méthodes de simulation de lois uniformes par générateurs pseudo-aléatoires
Vocabulaire
Loi uniforme : Loi continue où tous les intervalles de même longueur ont la même probabilité
Densité de probabilité : Fonction f ≥ 0 telle que P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x)dx et ∫f = 1
Équiprobabilité : Situation où tous les résultats ont la même probabilité
Loi continue : Loi dont la variable peut prendre toute valeur dans un intervalle (vs loi discrète)
Sujets type Bac
- 1Reconnaître une loi uniforme et calculer des probabilités P(c ≤ X ≤ d)
- 2Calculer l'espérance et l'écart-type d'une loi uniforme
- 3Résoudre un problème de temps d'attente modélisé par une loi uniforme
