Probabilités
Probabilités Conditionnelles
La probabilité conditionnelle de A sachant B, notée P(A|B) ou Pв(A), est la probabilité de A lorsqu'on sait que B est réalisé : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).
Introduction
Les probabilités conditionnelles sont au cœur du raisonnement probabiliste. Elles modélisent la mise à jour de l'information : comment la connaissance d'un événement modifie les probabilités des autres. La formule de Bayes et les arbres pondérés sont les outils clés.
Plan du cours
1. Définition et propriétés
- •P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), définie seulement si P(B) > 0
- •P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A) (formule des probabilités composées)
- •P(A|B) ≠ P(B|A) en général (confusion fréquente !)
- •Si A et B indépendants : P(A|B) = P(A) et P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
2. Formule des probabilités totales
- •Si B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de Ω (union = Ω, disjoints deux à deux)
- •Alors P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bₙ)P(Bₙ)
- •Cas fréquent avec B et B̄ : P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B̄)P(B̄)
- •Application : on lit les probabilités dans l'arbre et on somme les chemins menant à A
3. Formule de Bayes
- •P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A) (inversion des conditionnelles)
- •Application médicale : si un test est positif, quelle est la proba d'être malade ?
- •Attention aux faux positifs : même un test fiable peut avoir une faible valeur prédictive positive si la maladie est rare
- •Arbre de Bayes : on inverse le sens de lecture de l'arbre pondéré
Mathématiciens clés
Thomas Bayes
Formule de Bayes pour inverser les probabilités conditionnelles (publié en 1763)
Pierre-Simon Laplace
Formalisation et généralisation du théorème de Bayes
Andreï Kolmogorov
Axiomatisation des probabilités, dont la définition rigoureuse de P(A|B)
Bruno de Finetti
Interprétation subjective des probabilités et rôle du conditionnement
Vocabulaire
Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) : probabilité de A sachant que B est réalisé
Partition : Famille d'événements disjoints dont l'union est l'univers Ω
Formule de Bayes : P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A), permet d'inverser le conditionnement
Indépendance : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), soit P(A|B) = P(A)
Sujets type Bac
- 1Construire un arbre pondéré et calculer des probabilités conditionnelles
- 2Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer P(A)
- 3Appliquer la formule de Bayes pour inverser une probabilité conditionnelle
