Probabilités
Schéma de Bernoulli et Loi Géométrique
Le schéma de Bernoulli consiste à répéter des épreuves de Bernoulli. La loi géométrique modélise le rang du premier succès : P(X = k) = (1-p)ᵏ⁻¹p.
Introduction
Le schéma de Bernoulli est le cadre de base des probabilités discrètes. Au-delà de la loi binomiale (nombre de succès), la loi géométrique (rang du premier succès) est un outil essentiel pour les problèmes d'attente et de fiabilité.
Plan du cours
1. Schéma de Bernoulli
- •Épreuve de Bernoulli : succès (proba p) ou échec (proba q = 1-p)
- •Schéma de Bernoulli de paramètres n et p : n répétitions indépendantes
- •Représentation par un arbre pondéré à n niveaux
- •Chaque chemin a une probabilité : pᵏq^(n-k) si k succès parmi n épreuves
2. Loi géométrique
- •X = rang du premier succès : X ∈ {1, 2, 3, ...}
- •P(X = k) = (1-p)ᵏ⁻¹ × p (k-1 échecs puis 1 succès)
- •P(X > k) = (1-p)ᵏ (pas de succès en k essais)
- •Espérance : E(X) = 1/p (en moyenne, il faut 1/p essais pour réussir)
3. Applications et propriétés
- •Propriété d'absence de mémoire : P(X > m+n | X > m) = P(X > n)
- •Temps d'attente : combien de lancers pour obtenir un 6 ? X ~ Géom(1/6), E(X) = 6
- •Lien avec la loi exponentielle : la géométrique est la version discrète de l'exponentielle
- •Algorithmique : simuler X avec une boucle while (tant que pas de succès, continuer)
Mathématiciens clés
Jacob Bernoulli
Schéma de Bernoulli et épreuves répétées (Ars Conjectandi)
Abraham de Moivre
Calculs liés aux épreuves de Bernoulli répétées
Blaise Pascal
Problème des partis, fondation du calcul des probabilités
Pierre de Fermat
Résolution du problème des partis avec Pascal
Vocabulaire
Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à exactement deux issues : succès (p) et échec (1-p)
Loi géométrique : Loi du rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli
Absence de mémoire : Les essais passés n'influencent pas les probabilités futures
Temps d'attente : Nombre d'essais nécessaires avant d'obtenir un premier succès
Sujets type Bac
- 1Calculer la probabilité que le premier succès arrive au rang k
- 2Déterminer le nombre minimal d'essais pour que P(X ≤ n) ≥ 0,99
- 3Modéliser un temps d'attente par une loi géométrique et calculer son espérance
