Probabilités
Variables Aléatoires Discrètes
Une variable aléatoire discrète X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire, prenant un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
Introduction
Les variables aléatoires permettent de quantifier le hasard. Leur étude passe par la loi de probabilité (tableau des valeurs et probabilités), l'espérance (valeur moyenne), la variance et l'écart-type (mesure de la dispersion).
Plan du cours
1. Loi de probabilité
- •X prend les valeurs x₁, x₂, ..., xₙ avec P(X = xᵢ) = pᵢ
- •Tableau de loi : première ligne les valeurs xᵢ, deuxième ligne les probabilités pᵢ
- •Condition : Σpᵢ = 1 et chaque pᵢ ≥ 0
- •Fonction de répartition : F(x) = P(X ≤ x)
2. Espérance, variance, écart-type
- •Espérance : E(X) = Σxᵢpᵢ = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ
- •Variance : V(X) = E(X²) - [E(X)]² = Σxᵢ²pᵢ - μ²
- •Écart-type : σ(X) = √V(X)
- •Propriétés : E(aX + b) = aE(X) + b, V(aX + b) = a²V(X)
3. Lois classiques discrètes
- •Loi uniforme sur {1, ..., n} : P(X = k) = 1/n, E(X) = (n+1)/2
- •Loi de Bernoulli B(p) : X = 1 avec proba p, X = 0 avec proba 1-p
- •Loi binomiale B(n, p) : somme de n Bernoulli indépendantes
- •Loi géométrique : X = rang du premier succès, P(X = k) = (1-p)ᵏ⁻¹p
Mathématiciens clés
Blaise Pascal
Fondateur du calcul des probabilités avec le problème des partis
Pierre de Fermat
Correspondance avec Pascal sur les jeux de hasard (1654)
Christiaan Huygens
Premier traité sur les probabilités, notion d'espérance mathématique
Andreï Kolmogorov
Axiomatisation moderne des probabilités et des variables aléatoires
Vocabulaire
Variable aléatoire : Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire
Espérance : Moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités : E(X) = Σxᵢpᵢ
Variance : Mesure de la dispersion autour de l'espérance : V(X) = E[(X - μ)²]
Loi de probabilité : Tableau donnant chaque valeur possible de X et sa probabilité
Sujets type Bac
- 1Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et calculer E(X)
- 2Calculer la variance et l'écart-type et interpréter
- 3Modéliser un jeu de hasard et déterminer si le jeu est favorable
