Quelle est la dérivée de ln(x) ?

La dérivée de la fonction logarithme népérien est (ln x)' = 1/x pour tout x > 0.

Comment résoudre une équation avec ln ?

Pour résoudre une équation du type ln(a) = ln(b), on peut simplifier en a = b (à condition que a et b soient positifs). Par exemple, ln(x) = 2 équivaut à x = e².

Quelles sont les limites de ln(x) en 0 et en +∞ ?

lim_{x→0⁺} ln(x) = -∞ et lim_{x→+∞} ln(x) = +∞. De plus, lim_{x→+∞} ln(x)/x = 0 et lim_{x→0⁺} x ln(x) = 0.

Quelle est la différence entre logarithme népérien et logarithme décimal ?

Le logarithme népérien (ln) utilise la base e (environ 2,718) et le logarithme décimal (log) utilise la base 10. Au lycée, on utilise principalement ln.

Comment dériver une fonction composée avec ln ?

Pour dériver une fonction de la forme ln(u), on utilise la formule (ln u)' = u'/u. Par exemple, si f(x) = ln(2x+1), alors f'(x) = 2/(2x+1).

Quelles sont les propriétés algébriques du logarithme ?

Les principales propriétés sont : ln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(a/b) = ln(a) - ln(b), ln(a^n) = n ln(a), et ln(1/a) = -ln(a), pour a et b strictement positifs.

Bac : tout savoir sur les fonctions logarithmes

Les fonctions logarithmes, et en particulier le logarithme népérien, sont un chapitre incontournable de la spécialité mathématiques en Terminale. Que tu vises une mention ou que tu veuilles simplement valider ton bac, comprendre la fonction ln est essentiel : elle tombe régulièrement aux épreuves, que ce soit en exercice d'étude de fonction ou en problème ouvert. Pas de panique : avec une méthode claire et un peu d'entraînement, tu peux maîtriser ce chapitre et gagner des points précieux. Dans cet article, on fait le tour complet : définitions, propriétés, dérivées, limites, et conseils pour le jour J.

Qu'est-ce que le logarithme népérien ?

Le logarithme népérien, noté ln, est une fonction mathématique définie pour tout réel x > 0. Sa définition rigoureuse au lycée repose sur l'équation fonctionnelle : c'est l'unique fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ qui vérifie :

f(x × y) = f(x) + f(y) pour tous réels x et y strictement positifs ;
f(1) = 0 ;
f'(1) = 1.

Autrement dit, le logarithme transforme les produits en sommes. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle : pour tout réel x, e^{ln(x)} = x (pour x > 0) et pour tout réel X, ln(e^X) = X.

Propriétés algébriques à connaître par cœur

Ces propriétés sont souvent utilisées dans les exercices pour simplifier des expressions :

ln(1) = 0 et ln(e) = 1 ;
ln(a × b) = ln(a) + ln(b) ;
ln(a / b) = ln(a) - ln(b) ;
ln(1 / a) = -ln(a) ;
ln(a^n) = n × ln(a) pour tout entier relatif n ;
ln(√a) = (1/2) × ln(a).

Ces formules sont valables pour a et b strictement positifs. Attention : il n'existe pas de formule pour ln(a + b) ! C'est une erreur classique à éviter absolument.

Étude de la fonction ln : dérivée, variations et limites

Pour le bac, tu dois savoir étudier complètement la fonction ln : dérivée, tableau de variations, limites, et courbe représentative.

Dérivée et variations

La fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est :

(ln x)' = 1 / x.

Comme 1/x > 0 pour tout x > 0, la fonction ln est strictement croissante sur son domaine de définition. Son tableau de variations est simple :

limite en 0⁺ : -∞ ;
limite en +∞ : +∞ ;
elle s'annule en x = 1.

Courbe représentative

La courbe de ln est située en dessous de la droite d'équation y = x (car ln(x) ≤ x - 1 pour tout x > 0). Elle admet une tangente horizontale ? Non, mais sa tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x - 1. La courbe est concave (la dérivée seconde est -1/x², négative).

Limites de référence

Ces limites sont à connaître parfaitement :

lim_{x → 0⁺} ln(x) = -∞ ;
lim_{x → +∞} ln(x) = +∞ ;
lim_{x → +∞} ln(x) / x = 0 (croissance lente) ;
lim_{x → 0⁺} x × ln(x) = 0 ;
lim_{x → 1} ln(x) / (x - 1) = 1 (dérivée en 1).

Composer avec ln : fonctions de la forme ln(u)

Au bac, on ne te demande pas seulement d'étudier ln(x) seule, mais souvent des fonctions composées comme f(x) = ln(2x + 1) ou g(x) = x × ln(x). Pour dériver ces fonctions, tu dois utiliser la formule de dérivation des fonctions composées :

(ln u)' = u' / u, où u est une fonction strictement positive sur l'intervalle considéré.

Exemple de dérivation

Soit f(x) = ln(3x² + 1). On pose u(x) = 3x² + 1, qui est strictement positive sur ℝ. Alors u'(x) = 6x, et donc f'(x) = 6x / (3x² + 1). Simple, non ?

Étude complète d'une fonction avec ln

Prenons un exemple classique : f(x) = x - ln(x).

Domaine de définition : ]0 ; +∞[.
Dérivée : f'(x) = 1 - 1/x = (x - 1)/x.
Signe de f'(x) : négatif sur ]0 ; 1[, nul en 1, positif sur ]1 ; +∞[.
Variations : f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +∞[.
Minimum en x = 1, qui vaut f(1) = 1 - ln(1) = 1.
Limites : en 0⁺, f(x) tend vers +∞ (car -ln(x) tend vers +∞) ; en +∞, f(x) tend vers +∞ (car x domine ln(x)).

Ce type d'étude est typique des exercices de bac. Tu peux t'entraîner avec des annales sur https://www.allobac.fr/annales.

Méthode pour réussir un exercice sur les logarithmes au bac

Voici une démarche systématique à appliquer le jour J :

Lire l'énoncé et identifier le domaine de définition : cherche les conditions sur x pour que les expressions soient définies (argument du ln strictement positif).
Simplifier l'expression si possible en utilisant les propriétés algébriques (mais attention à ne pas restreindre le domaine).
Calculer la dérivée avec les formules adaptées (ln(u) ou produit/quotient).
Étudier le signe de la dérivée : factorise, étudie le signe de chaque facteur, fais un tableau de signes.
Construire le tableau de variations et calculer les limites aux bornes du domaine.
Répondre aux questions subsidiaires : équations, inéquations, tangentes, positions relatives, etc.

Erreurs fréquentes à éviter

Oublier le domaine de définition : ln(x) n'est défini que pour x > 0. Avant toute simplification, vérifie.
Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : c'est faux !
Confondre ln et log : au lycée, on utilise le logarithme népérien (base e), pas le logarithme décimal.
Mal dériver ln(u) : ne pas oublier le facteur u'.
Limites : croire que ln(x)/x tend vers +∞ : non, c'est 0.

Exemple concret type bac : étude d'une fonction

Prenons un exercice inspiré des annales : on considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x² - 2x + 2ln(x).

1. Dérivée et variations

f'(x) = 2x - 2 + 2/x = (2x² - 2x + 2)/x = 2(x² - x + 1)/x. Le trinôme x² - x + 1 a un discriminant négatif (Δ = -3), donc il est toujours positif. Ainsi, f'(x) > 0 pour tout x > 0. f est strictement croissante sur [1 ; +∞[.

2. Limite en +∞

f(x) = x² - 2x + 2ln(x). En +∞, x² domine, donc f(x) tend vers +∞.

3. Valeur en 1

f(1) = 1 - 2 + 2×0 = -1.

4. Théorème des valeurs intermédiaires

Comme f est continue et strictement croissante sur [1 ; +∞[, et que f(1) = -1 < 0 et f(x) → +∞, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α > 1. On peut en donner une valeur approchée à la calculatrice (α ≈ 1,29).

Ce genre de raisonnement est très courant au bac. Pour t'entraîner davantage, consulte les exercices de maths et les cours complets sur AlloBac.

Comment réviser efficacement les logarithmes ?

Voici un plan de révision sur une semaine :

Jour 1 : relire le cours et apprendre les propriétés algébriques (les écrire de mémoire).
Jour 2 : refaire les dérivées de ln(u) et les études de variations simples.
Jour 3 : travailler les limites de référence et les levées d'indétermination.
Jour 4 : faire un exercice complet type bac (comme celui ci-dessus).
Jour 5 : refaire un autre exercice avec des équations et inéquations.
Jour 6 : revoir les erreurs commises et les points faibles.
Jour 7 : faire une fiche de synthèse avec les formules clés.

Utilise les fiches de révision pour gagner du temps.

Liens avec d'autres chapitres du programme

Le logarithme est lié à l'exponentielle, mais aussi aux suites et aux intégrales. Par exemple, la dérivée de ln(x) permet de définir l'intégrale de 1/x. En Terminale, tu verras que ∫(1/x) dx = ln|x| + C. Ces connexions sont souvent exploitées dans les problèmes de bac.

Conclusion : fais des logarithmes ton allié

Les fonctions logarithmes ne sont pas si redoutables si tu maîtrises les définitions, les propriétés et les méthodes. Avec de la pratique régulière, tu seras capable de résoudre les exercices types et de gagner des points précieux. N'oublie pas : chaque erreur est une occasion d'apprendre. Alors lance-toi, fais des exercices, et le jour du bac, tu seras serein. Pour aller plus loin, explore aussi les ressources pour le lycée et pour le brevet si besoin.