Géométrie
Géométrie dans l'Espace
La géométrie dans l'espace étudie les objets en trois dimensions : points, droites, plans, et leurs positions relatives.
Introduction
La géométrie dans l'espace est un chapitre majeur du Bac. Elle mobilise les repères orthonormés de l'espace, les vecteurs, les équations de plans et de droites. Les exercices portent sur les positions relatives, les intersections et les distances.
Plan du cours
1. Repérage dans l'espace
- •Repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗) : un point M a pour coordonnées (x, y, z)
- •Vecteur AB⃗ = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
- •Milieu de [AB] : M((xA+xB)/2, (yA+yB)/2, (zA+zB)/2)
- •Distance AB = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]
2. Plans et droites de l'espace
- •Équation cartésienne d'un plan : ax + by + cz + d = 0, avec n⃗(a, b, c) vecteur normal
- •Un plan est déterminé par : 3 points non alignés, ou 1 point + 2 vecteurs directeurs, ou 1 point + 1 vecteur normal
- •Représentation paramétrique d'une droite : x = x₀ + tu₁, y = y₀ + tu₂, z = z₀ + tu₃
- •Vecteur directeur d'une droite : u⃗ parallèle à la droite
3. Positions relatives et intersections
- •Deux droites : parallèles, sécantes ou non coplanaires (gauches)
- •Droite et plan : parallèles (0 point commun), sécants (1 point), droite incluse dans le plan
- •Deux plans : parallèles ou sécants (intersection = droite)
- •Orthogonalité : droite ⊥ plan ⟺ droite parallèle au vecteur normal du plan
Mathématiciens clés
René Descartes
Création de la géométrie analytique et des coordonnées cartésiennes
Euclide
Les Éléments : axiomes de la géométrie, dont le postulat des parallèles
Gaspard Monge
Géométrie descriptive, représentation de l'espace en 2D
Hermann Grassmann
Algèbre des vecteurs en dimension quelconque
Vocabulaire
Vecteur normal : Vecteur perpendiculaire à un plan, ses coordonnées sont les coefficients de l'équation cartésienne
Droites gauches : Droites non coplanaires : ni parallèles, ni sécantes
Représentation paramétrique : Expression des coordonnées d'un point d'une droite en fonction d'un paramètre t
Section plane : Intersection d'un solide avec un plan, donnant une figure plane
Sujets type Bac
- 1Déterminer l'équation cartésienne d'un plan passant par trois points
- 2Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan
- 3Calculer la distance d'un point à un plan
